D Eliseev Rasskazy o matematike s primerami na yazykakh Python i C

До загрузки: 30 сек.



Благодарим, что скачиваете у нас :)

Если, что - то:

  • Поделится ссылкой:
  • Документ найден в свободном доступе.
  • Загрузка документа - бесплатна.
  • Если нарушены ваши права, свяжитесь с нами.
Формат: pdf
Найдено: 13.08.2020
Добавлено: 30.09.2020
Размер: 1.37 Мб

Елисе ев Д .

Расска зы о м ате м ати ке с п р и м ерам и
на я зы ка х P yth o n и C .


Вер си я т е кс та 1 .0 . ( с ) 2 01 7

Вве д ени е
Как ска за л ещ е Га л ил ей , “К ни га пр и род ы на пи са на на язы ке мате м ати ки ”, и с эти м
сл ож но не со гл аси ть ся . Мате м ати ка это ун и ве рса л ьн ы й язы к на уки , это базо вы е
пр и нц ипы , на ко то ры х по стр оена вся Все л енна я. 2+ 2= 4 не за ви си м о от то го , ве ри м мы
в это ил и не т, зн а ем мы это ил и не т, сущ еств уе м мы во об щ е ил и не т, и это буд ет
ве рно н е т о л ько д ля н а с, н о и д ля ж ите л я А льф ы Ц ента вр а.

Из это го сл ед уе т ва ж но е пр ави л о: мате м ати че ски е за ко ны не л ьзя пр и д ум ать , их
мож но то л ько откр ы ть . Треуго л ьн и к по д чи нял ся те оре м е Пиф аго ра ещ е до то го , ка к
Пиф аго р откр ы л и сф ор м ул иро ва л изв е стн ую те о рем у. Числ о Пи бы ло вы чи сл ено в
древн е м Кита е, но его зн а че ни е бы ло та ки м все гд а - ещ е до то го ка к по яви л ся не
то л ько К ита й , н о и н а ш а п л ане та З ем ля.

Именно по это м у я на д ею сь , что кт о -т о из чи та те л ей с по м ощ ью это й кн и ги ​от кр оет
для се б я в мате м ати ке что -т о но во е . Увы , в пр ед ста вл ени и бол ьш инств а , мате м ати ка -
это доста то чн о ску ч н а я на ука , ве роятн о та к ее пр епо д аю т в шко л е. Есл и кт о -т о с
по м ощ ью это й кн и ги на й д ет для се б я что -т о но во е , мож но сч и та ть что вр ем я бы ло
по тр аче но н е з р я.

Эта кн и га не за д ачн и к, а ско р ее сб орни к расска зо в о те х ил и ины х мате м ати че ски х
во пр оса х. Т.к . мате м ати че ски е пр и м еры без циф р бессм ы сл енн ы , “п р а кт и че ска я” ча сть
даетс я н а я зы ка х п р огр а м мирова ни я P yth on и С и.

Ном ер ве рси и в за го л овке ука за н не сл уч а й но . Эта кн и га не за ко нче на , и по мере
по явл ени я ка ки х-т о но вы х инте ресн ы х во пр осо в она буд ет допо л нять ся . Жел аю щ ие
та кж е могу т пр и сы лать св о и исто р и и ил и за д ачи по ад ресу ​dm it r y e lj@ gm ail. c o m ​,
на и б ол ее инте ресн ы е из ни х буд ут вкл ю че ны в те кс т. Обо на й д енны х не то чн о стя х
та кж е п р ось б а п и са ть н а э то т а д ре с.

Кни га р асп р остр аняе тс я б есп л атн о в э л ект р о нно м в и д е. П еча тн ую в е рси ю ж ел аю щ ие
могу т с д ел ать с е б е с а м осто яте л ьн о . В а рхи ве т а кж е п р и л ож ены в се ф ай л ы п р огр ам м.
Нал ичи е н о во й в е рси и м ож но п р о ве ри ть н а с тр а ни ц е ​http :/ /d m it r y e lj. s p b.r u /m ath .h tm ​.

При ятн о го ч те ни я.

Елисе ев Д м итр и й

Исто ри я в е рси й т е кс та :
04.2 017 - 1 .0

1. О сн о вы я зы ко в P yth on и С и
Мате м ати ка не м ы сл им а без расч е то в и пр и м ер ов вы чи сл ени й. При м еры в данно й
кн и ге ил лю стр и рую тс я фрагм ента м и ко д а на язы ке Pyth on . Это т язы к уд об ен те м , что
он оче нь пр ост и по д хо д ит для на чи на ю щ их, по это м у кр атко рассм отр и м ка к им
по л ьзо ва ть ся .

Для исп о л ьзо ва ни я язы ка Pyth on нуж но уста но ви ть инте рпр ета то р язы ка с са й та
http s://w ww.p yth on.o rg /d ow nlo ad s/ ил и во сп о л ьзо ва ть ся онл ай н-в е рси ей , на пр и м ер на
стр ани ц е ​http s://r e pl. it / la n guag es/p yth on3 ​. Все пр и м еры из кн и ги раб ото сп о со б ны с
лю бой в е рси ей я зы ка P yth on, 2 .7 и л и 3 .

Для з а пуска п р огр ам мы н е об хо д им о:
- Сохр ани ть ф ай л в Б локн о те с л ю бы м и м ене м и р асш ирени ем .p y, н а пр и м ер
te st1 .p y ( у д об но т а кж е с о зд ать п а пку в к о рне д иска C , н а пр и м ер C :\P yth onA pps).
- Откр ы ть к о нсо л ь ( н а ж ать W in + R и н а б ра ть c m d), в к о нсо л и н а б рать к о м анд у ( б ез
ка вы че к) “ p yth on п уть _ к_ ф ай л у.p y”, н а пр и м ер “ p yth on C :\P yth onA pps\te st1 .p y”.
Как б ол ее у д об ны й в а ри ант, м ож но с ка ча ть б есп л атн ую с р ед у р азр аб отки P yС harm
co m munit y e dit io n, и р ед акт и ро ва ть и з а пуска ть ф ай л ы в н е й . С ка ча ть P yС harm м ож но
со с тр ани ц ы ​http s://w ww.je tb ra in s.c o m /p ych arm /d ow nlo ad/ ​.

Для з а пуска п р огр ам мы н а я зы ке С и, е е с н а ча л а н а д о с о хр ани ть ф ай л е с
расш ирени ем .c , и в ы по л ни ть к о м анд у “ g cc и м я_ ф ай л а.c ”. Б уд ет с о зд ан e xe -ф ай л ,
ко то ры й м ож но з а пусти ть .
Мини м ал ьн а я п р огр ам ма н а С и в ы гл яд ит т а к:
#in clu de < std io .h >

in t m ain ()
{
p rin tf( " H ello w orld \n ");
r e tu rn 0 ;
}

Рассм отр и м п р осты е п р и м еры и сп о л ьзо ва ни я.

Объ яв л ен и е и в ы вод п ер ем ен н ы х
Pyth on ​: д оста то чн о в ве сти и м я и з н а че ни е.
x = 3
y = 1 0
prin t( " x = ", x )
prin t( x + y)

В о тл ичи е о т я зы ка С ++ , т и п п е р ем енн о й б уд ет о пр ед ел ен а вто м ати че ски , у ка зы ва ть
его н е н уж но . К ста ти , е го м ож но у зн а ть , в ве д я p rin t ( ty p e(x )).

Cи ​: н е об хо д им о у ка за ть т и п и з н а че ни е п е рем енно й .
in t x = 3 ;

in t y = 1 0;
prin tf( " x = % d\n ", x );
prin tf( " % d\n ", x + y);

Цикл ы
В о тл ичи е о т т о го ж е С ++ и л и J a va , ц икл ы з а д аю тс я о тс ту п а м и, ч то п о сл е д руги х
язы ко в п р огр ам мирова ни я м ож ет б ы ть н е пр и вы чн ы м. Ч асть к о д а, н а хо д ящ аяся в н утр и
цикл а, б уд ет в ы по л не на з а д анно е к о л иче ств о р аз.

Pyth on
Вы во д ч и се л о т 1 д о 9 :
fo r p in r a nge(1 ,1 0):
p rin t ( p )

Вы во д ч и се л о т 1 д о 9 с ш аго м 2 :
fo r p in r a nge(1 ,1 0,2 ):
p rin t ( p )

Си
Вы во д ч и се л о т 1 д о 9 :
fo r(in t i= 1; i< 10; i+ + ) {
p rin tf( " % d\n ", i) ;
}

Вы во д ч и се л о т 1 д о 9 с ш аго м 2 :
fo r(in t i= 1; i< 10; i+ = 2) {
p rin tf( " % d\n ", i) ;
}

Масси вы
Масси в э то л ине й ны й н а б ор ч и се л , с к о то р ы ми у д об но в ы по л нять о д но ти пн ы е
опе рац ии, н а пр и м ер в ы чи сл ени е с ум мы и л и с р ед не го а ри ф мети че ско го .

Pyth on
Объ явл яе м м асси в ч и се л :
va lu es = [1 ,2 ,3 ,5 ,1 0,1 5,2 0]

Доб авл яе м э л ем ент в м асси в:
va lu es.a ppend(7 )

Вы во д им м асси в н а э кр а н:
prin t( v a lu es)

Вы во д им э л ем енты м асси ва п о стр о чн о :
fo r p in v a lu es:
p rin t( p )

Это ж е м ож но с д ел ать с п о м ощ ью и нд екс о в ( н ум ерац ия э л ем енто в м асси ва
на чи на етс я с 0 ):
fo r i in r a nge(0 ,le n(v a lu es)):
p rin t ( v a lu es[i] )

Си: ​Дина м иче ски е м асси вы п о д держ ива ю тс я т о л ько в C ++, с та ти че ски е м асси вы
со зд аю тс я т а к:
in t v a lu es[7 ] = { 1 ,2 ,3 ,5 ,1 0 ,1 5,2 0 } ;
fo r(in t i= 0; i< 7; i+ +) {
p rin tf( " % d\n ", v a lu es[i] ) ;
}

При ж ел ани и м ож но с л егк а с хи тр и ть , е сл и м акс и м ал ьн ы й р азм ер м асси ва з а ране е
изв е сте н.
in t v a lu es[2 55] = { 1 ,2 ,3 ,5 ,1 0,1 5,2 0 } , c n t = 7 ;
fo r(in t i= 0; i< cn t; i+ +) {
p rin tf( " % d\n ", v a lu es[i] ) ;
}
v a lu es[c n t] = 7 ;
c n t+ +;

Мож но п о л ьзо ва ть ся д ина м иче ски м р асп р ед ел ени ем п а м яти , х о тя э то н е м но го
сл ож не е:
in t * v a lu esA rra y = ( in t* )m allo c(1 0*s iz e of( in t) );
v a lu esA rra y[0 ] = 1 ;
v a lu esA rra y[1 ] = 3 ;
v a lu esA rra y[2 ] = 1 5;
v a lu esA rra y = ( in t* )re allo c(v a lu esA rra y, 2 5*s iz e of( in t) );
v a lu esA rra y[2 0] = 5 55;
v a lu esA rra y[2 1] = 7 77;
fo r(in t i= 0; i< 25; i+ +) {
p rin tf( " % d\n ", v a lu esA rra y[i] ) ;
}
fr e e(v a lu esA rra y);

Важ но з а м ети ть , ч то н е и ни ц иал изи рова нны е з н а че ни я м асси ва , н а пр и м ер
va lu esA rra y[1 6], б уд ут с о д ерж ать “ м усо р”, н е ки е з н а че ни я к о то р ы е б ы ли д о э то го в
па м яти . С и д оста то чн о н и зко ур овн е вы й я зы к, и т а ки е м ом енты н уж но у ч и ты ва ть .
Хорош им т о но м я вл яе тс я и ни ц иал иза ц ия в се х п е рем енны х п р и и х о пи са ни и. В от т а ко й
ко д ф орм ал ьн о н е с о д ерж ит о ш иб ок:
in t x ;
p rin tf( " x = % d\n ", x );
Одна ко п р и е го з а пуске в ы ве д етс я з н а че ни е 4 196608, и л и 0 , и л и 3 2, р езу л ьта т
не пр ед ска зу е м . В б ол ьш ой п р огр ам ме т а ки е о ш иб ки м ож ет б ы ть с л ож но н а й ти , т е м
бол ее ч то п р оявл ять ся о ни м огу т н е в се гд а.

Ари ф мети чески е о пер ац ии
Слож ени е, у м но ж ени е,д ел ени е:

x1 = 3
x2 = ( 2 *x 1 *x 1 + 1 0*x 1 + 7 )/x 1

Возв е д ени е в с те пе нь:
x3 = x 1 **1 0
prin t ( x 1 ,x 2 ,x 3 )

Перем енную т а кж е м ож но у в е л ичи ть и л и у м еньш ить :
x1 + = 1
x1 - = 1 0
prin t ( x 1 )

Оста то к о т д ел ени я:
x2 = x 1 % 6
prin t ( x 2 )

Под сч и та ем с ум му э л ем енто в м асси ва :
va lu es = [1 ,2 ,3 ,5 ,1 0,1 5,2 0]
su m = 0
fo r p in v a lu es:
s u m + = p
prin t ( s u m )

Для б ол ее с л ож ны х о пе р ац ий н е об хо д им о п о д кл ю чи ть м од ул ь m ath . В ы чи сл ени е
кв а д ратн о го к о рня:
im port m ath

prin t ( m ath .s q rt( x 3 ))

Усл ови я з а д аю тс я о тс ту п а м и, а на л оги чн о ц икл ам :
prin t ( x 1 )
if x 1 % 2 = = 0 :
p rin t( " x 1 ч е тн о е ч и сл о")
els e :
p rin t( " x 1 н е че тн о е ч и сл о")

Pyth on м ож ет д ел ать в ы чи сл ени я с б ол ьш им и ч и сл ам и, ч то д оста то чн о у д об но :
x1 = 1 2131231321321312312313131124141
prin t ( 1 0*x 1 )
prin t ( m ath .s q rt( x 1 ))

Мож но в ы ве сти д аж е ф акт о р и ал ч и сл а 1 024, ч то н е с д ел ает н и о д ин к а л ьку л ято р:
prin t( m ath .fa cto ria l( 1 024))

В С и в ы чи сл ени е с ум мы э л ем енто в м асси ва в ы гл яд ит т а к:
in t s u m = 0 ;
fo r(in t i= 0; i< cn t; i+ +) {
s u m + = v a lu es[i] ;
}

prin tf( " S um =% d\n ", s u m );

Пож ал уй , э то го н е х в а ти т ч то б ы у стр ои ть ся н а р аб оту п р огр ам мисто м , н о в п о л не
доста то чн о д ля п о ни м ани я б ол ьш инств а п р и м еров в к н и ге . Т епе рь в е рне м ся к
мате м ати ке .
2. М ате м ати че ски е ф оку сы
Для “ р азм инки ” р ассм отр и м н е ско л ько ф оку со в, и м ею щ их о тн о ш ени е к ч и сл ам .
Ника ки х о со б ы х с л ож но сте й в н и х н е т, н о и х з н а ни е п о м ож ет р азв е се л ить и л и у д иви ть
зн а ко м ы х з н а ни ем м ате м ати ки .

Ум но ж ен и е в у м е ч и сл а н а 1 1
Рассм отр и м п р осто й п р и м ер:
26*1 1 = 2 86

Сдел ать э то в у м е п р осто , е сл и в зя ть с ум му ч и се л и п о м ести ть в с е ред ину:
26*1 1 = 2 [ 2 + 6 ] 6
Ана л оги чн о 4 3*1 1 = 4 73 , 7 1*1 1 = 7 81 и т а к д ал ее.

Чуть д линне е р асч е т, е сл и с ум ма ч и се л б ол ьш е л иб о р авн а 1 0. Н о и т о гд а в се п р осто :
в с е ред ину к л ад етс я м лад ш ий р а зр яд , а 1 у хо д ит в с та р ш ий р азр яд :
47*1 1 = [4 ] [4 + 7= 11] [7 ] = [ 4 + 1] [1 ] [7 ] = 5 17
94*1 1 = [9 ] [9 + 4= 13] [4 ] = [ 1 0 ] [3 ] [4 ] = 1 034

Возв ед ен и е в к в ад рат ч и сл а, о ка н чи ваю щего ся н а 5
Под сч и та ть э то т о ж е п р осто . Е сл и ч и сл о р ассм отр е ть к а к п а ру N M , т о п е рва я ч а сть
резу л ьта та - э то ч и сл о N , у м но ж енн о е н а ( N +1), в то р ая ч а сть ч и сл а - в се гд а 2 5.
35 ​2 ​ = [3 *4 ] [2 5] = 1 2 2 5

Ана л оги чн о :
25 ​2 ​ = [2 *3 ] 2 5 = 6 25 85 ​2 ​ = [8 *9 ] 2 5 = 7 225 и т а к д ал ее.

Отга д ы ван и е р езу л ьта та
Попр оси м ч е л ове ка з а га д ать л ю бое ч и сл о. Н апр и м ер 7 3. З ате м ч то б ы е щ е б ол ьш е
за пута ть о тга д ы ва ю щ его , п о пр оси м с д ел ать с л ед ую щ ие д ей ств и я:
- уд во и м ч и сл о ( 1 46)
- пр и б авл яе м 1 2 ( 1 58)
- разд ел им н а 2 ( 7 9)
- вы чте м и з р езу л ьта та и схо д но е ч и сл о ( 7 9 -7 3 = 6 )
В к о нц е м ы о тга д ы ва ем , ч то р е зу л ьта т - 6 . С уть в т о м , ч то ч и сл о 6 п о явл яе тс я
не за ви си м о о т т о го , к а ко е ч и сл о з а га д ал ч е л ове к.

Мате м ати че ски , э то д ока зы ва е тс я о че нь п р осто :
(2 *n + 1 2)/2 - n = n + 6 - n = 6 , н е за ви си м о о т з н а че ни я n .

Отга д ы ван и е ч и сел
Есть д руго й ф оку с с о тга д ы ва ни ем ч и се л . П опр оси м ч е л ове ка з а га д ать т р ехзн а чн о е
чи сл о, ч и сл а в к о то ром и д ут в п о ряд ке у м еньш ени я ( н а пр и м ер 7 52). П опр оси м
че л ове ка в ы по л ни ть с л ед ую щ ие д ей ств и я:
- за пи са ть ч и сл о в о б ратн о м п о ряд ке ( 2 57 )
- вы че сть е го и з и схо д но го ч и сл а ( 7 52 - 2 57 = 4 95)
- к о тв е ту д об ави ть е го ж е, т о л ько в о б ратн о м п о ряд ке ( 4 9 5 + 5 94)
Пол уч и тс я ч и сл о 1 089, к о то р ое “ ф оку сн и к” и о б ъ явл яе т п уб л ике .

Мате м ати че ски э то т о ж е н е сл ож но д ока за ть .
- Лю бое ч и сл о в и д а a b c в д еся ти чн о й с и сте м е с ч и сл ени я п р ед ста вл яе тс я т а к:
abc = 1 00*a + 1 0*b + c.
- Разн о сть ч и се л a bc - c b a:
100*a + 1 0*b + c + 1 00 - 1 00*c -1 0*b - a = 1 00*a - 1 00*c - ( a - c ) = 1 00*(a -c ) - ( a -c )
- Т.к . п о у сл ови ю a - c > 0 , т о р е зу л ьта т м ож но з а пи са ть в в и д е:
100*(a -c ) - ( a -c ) = 1 00 *(a -c ) - 1 00 + 9 0 + 1 0 - ( a -c ) = 1 00*(a -c -1 ) + 1 0*9 + ( 1 0 -a + c)
Мы у зн а л и р азр яд ы ч и сл а, п о л уч а ю щ его ся в р езу л ьта те :
a ​1 ​=a-c -1 , b ​1 ​ = 9 , c ​1 ​ = 10-a + c
- Доб авл яе м ч и сл о в о б ратн о м п о ряд ке :
a ​1 ​b ​1 ​c ​1 ​ + c ​1 ​b ​1 ​a ​1 ​ = 1 00 *(a -c -1 ) + 1 0*9 + ( 1 0 -a + c) + 1 00* ( 1 0 -a + c) + 1 0*9 + a -c -1
Есл и р аскр ы ть в се с ко б ки и с о кр а ти ть л иш не е, в о ста тке б уд ет 1 089.
3. Ч исл о П и
Воб ье м в сте ну гв о зд ь, пр и вя ж ем к не м у ве ревку с ка ранд аш ом , на че рти м окр уж но сть .
Как вы чи сл ить длину окр уж но сти ? Сего д ня отв е т зн а е т ка ж ды й шко л ьн и к - с по м ощ ью
чи сл а Пи. Числ о Пи - не со м не нн о , од на из осн о вн ы х ко нста нт мирозд ани я, зн а че ни е
ко то рой бы ло изв е стн о ещ е в древн о сти . Оно исп о л ьзу е тс я ве зд е, от кр ой ки и шить я
до р асч е то в г а рм они че ски х к о л еб ани й в ф изи ке и р ад иоте хн и ке .

Сего д ня д оста то чн о н а ж ать о д ну к н о пку н а к а л ьку л ято р е, ч то б ы у в и д еть е го з н а че ни е:
Pi = 3.1 415926535… Одна ко , за эти м и циф рам и скр ы ва етс я мно го ве ко ва я исто ри я. Что
та ко е чи сл о Пи? Это отн о ш ени е длины окр уж но сти к ее диам етр у. То что это
ко нста нта , не за ви ся щ ая от са м ой длины окр уж но сти , зн а л и ещ е в древн о сти . Но че м у
она равн а ? Есть ли у это го чи сл а ка ка я-т о вн утр енняя стр укт у р а, не и зв е стн а я
за ко но м ерно сть ? Узн а ть это хо те л и мно ги е. Сам ы й пр осто й и оче ви д ны й сп о со б -
взя ть и изм ери ть . При м ерно та к ве роятн о и по сту п а л и в древн о сти , то чн о сть
разу м еетс я бы ла не вы со ко й . Ещ е в древн е м Вави л оне зн а че ни е чи сл а Пи бы ло
изв е стн о ка к 25/8 . Зате м ​Архи м ед пр ед лож ил пе рвы й мате м ати че ски й мето д
вы чи сл ени я чи сл а Пи, с по м ощ ью ра сч е та вп и са нны х в кр уг мно го уго л ьн и ко в. Это
по зв о л ял о вы чи сл ять зн а че ни е не «на пр ям ую », с цирку л ем и лине й ко й , а
мате м ати че ски , что об есп е чи ва л о го ра зд о бол ьш ую то чн о сть . И на ко не ц в 3-м ве ке
на ш ей эр ы ки та й ски й мате м ати к ​Лю Хуэй пр и д ум ал пе рвы й ите рац ионны й ал го ри тм
— ал го ри тм , в ко то ро м чи сл о вы чи сл яе тс я не од но й форм ул ой , а
по сл ед ова те л ьн о сть ю шаго в (и те рац ий), гд е ка ж дая по сл ед ую щ ая ите рац ия
ув е л ичи ва ет то чн о сть . С по м ощ ью св о его мето д а Лю Хуэ й по л уч и л Пи с то чн о сть ю 5

зн а ко в: π = 3.1 416. Дал ьн е й ш ее ув е л иче ни е то чн о сти за нял о со тн и лет. Мате м ати к из
Ирана ​Джам ш ид иб н Мас ‘у д иб н Мах м уд Ги яс ад -Д ин ал -К аш и в 15-м ве ке
вы чи сл ил чи сл о Пи с то чн о сть ю до 16 зн а ко в, а в 17-м ве ке го л л анд ски й мате м ати к
Луд ол ьф ​вы чи сл ил 32 зн а ка чи сл а Пи. В 19 -м ве ке англ ича ни н ​Вил ьям Шен кс ​,
по тр ати в 20 лет, вы чи сл ил Пи до 707 зн а ка , од на ко он та к и не узн а л , что в 520-м
зн а ке допусти л ош иб ку и все по сл ед ни е го д ы вы чи сл ени й ока за л ись на пр асн ы (в
ите рац ионны х ал го ри тм ах хо ть од на ош иб ка дел ает все дал ьн е й ш ие шаги
бесп о л езн ы ми).

Что м ы з н а ем о ч и сл е П и с е го д ня? Д ей ств и те л ьн о , э то ч и сл о в е сь м а и нте р есн о :
- Числ о П и я вл яе тс я и ррац иона л ьн ы м: о но н е м ож ет б ы ть в ы раж ено с п о м ощ ью
дроб и в и д а m /n . Э то б ы ло д ока за но т о л ько в 1 761 г о д у.
- Числ о П и я вл яе тс я т р ансц енд ентн ы м: о но н е я вл яе тс я к о рне м к а ко го -л иб о
ур авн е ни я с ц ел очи сл енны ми к о эф ф иц иента м и. Э то б ы ло д ока за но в 1 882
го д у.
- Числ о П и я вл яе тс я б еско не чн ы м.
- Инте ресн о е с л ед ств и е п р ед ы дущ его п ун кт а : в ч и сл е П и м ож но н а й ти
пр акт и че ски л ю бое ч и сл о, н а пр и м ер с в о й с о б ств е нны й н о м ер т е л еф она , в о пр ос
лиш ь в д лине п о сл ед ова те л ьн о сти к о то рую п р и д етс я п р осм отр е ть . М ож но
по д тв е рд ить , ч то т а к и е сть : с ка ча в а рхи в с 1 0 м ил лиона м и з н а ко в ч и сл а П и, я
на ш ел в н е м с в о й н о м ер т е л еф она , н о м ер т е л еф она к в а рти ры г д е я р од ил ся , и
но м ер т е л еф она с в о ей с уп р уги . Н о р а зу м еетс я , н и ка ко й “ м аги и” т у т н е т, л иш ь
те ори я в е роятн о сти . М ож но в зя ть л ю бую д ругу ю с л уч а й ную
по сл ед ова те л ьн о сть ч и се л т а ко й ж е д лины , в н е й т а кж е н а й д утс я л ю бы е
за д анны е ч и сл а.

И на ко не ц , пе рей д ем к форм ул ам вы чи сл ени я Пи, т.к . им енно в ни х мож но ув и д еть
кр асо ту ч и сл овы х в за и м осв я зе й - т о , ч е м и нте р есн а м ате м ати ка .

Формула Лю-Хуэя (3й _d :


Форм ул а М ад ха вы -Л ей б ни ц а ( 1 5 в е к):


Форм ул а В ал лиса ( 1 7 в е к):


Формула Мэчина (18 _d :

Попр об уе м вы чи сл ить чи сл о Пи по вто рой форм ул е. Для это го на пи ш ем пр осту ю
пр огр ам му н а я зы ке P yth on :
su m = 0 .0
sig n = 1
fo r p in r a nge(0 ,3 3):
su m + = 4 .0 *s ig n/( 1 + 2*p )
prin t ( p ,s u m )
sig n = - s ig n

Запусти м пр огр ам му в лю бом онл ай н-к о м пи л ято ре язы ка Пито н (н а пр и м ер
http s://r e pl. it /la nguages/p yth on3 ​). П ол уч а ем р езу л ьта т:
Шаг Зна че ни е
0 4.0
1 2.6 6666666 6666667
2 3.4 6666666 6666667
3 2.8 9523809 52380956
4 3.3 3968253 96825403
5 2.9 7604617 60461765
6 3.2 8373848 37384844
7 3.0 1707181 7071818
8 3.2 5236593 47188767
9 3.0 4183961 89294032
10 3.2 3231580 9405594
11 3.0 5840276 5927333
12 3.2 1840276 59273333
13 3.0 7025461 77791854
14 3.2 0818565 2261944
15 3.0 7915339 4197428
16 3.2 0036551 5409549
17 3.0 8607980 11238346
18 3.1 9418790 92319425
19 3.0 9162380 666784
20 3.1 8918478 2277596
21 3.0 9616152 64636424
22 3.1 8505041 53525314
23 3.0 9994403 2373808
24 3.1 8157668 54350325
25 3.1 0314531 28860127
26 3.1 7861701 09992202
27 3.1 0588973 82719475
28 3.1 7606517 68684385
29 3.1 0826856 6698947
30 3.1 7384233 71907505
31 3.1 1035027 3698687
32 3.1 7188873 52371485

Как мож но ви д еть , сд ел ав 32 шага ал го ри тм а, мы по л уч и л и лиш ь 2 то чн ы х зн а ка .
Вид но что ал го ри тм раб ота ет, но ко л иче ств о вы чи сл ени й ве сь м а ве л ико . Как изв е стн о ,
в 15м ве ке инд ийски й астр оно м и мате м ати к Мад ха ва исп о л ьзо ва л бол ее то чн ую
форм ул у, п о л уч и в т о чн о сть ч и сл а П и в 1 1 з н а ко в:

Попр об уе м во сп р ои зв е сти ее в ви д е пр огр а м мы , что б ы пр и м ерно оц ени ть об ъ ем
вы чи сл ени й.

Первы м шаго м не об хо д им о вы чи сл ить √1 2. Возн и ка ет резо нны й во пр ос - ка к это
сд ел ать ? Ока зы ва етс я , уж е в Вави л оне бы л изв е сте н мето д вы чи сл ени я кв а д ра тн о го
ко рня, ко то ры й се й ча с та к и на зы ва етс я “в а ви л онски м ”. Суть его в вы чи сл ени и √S по
пр осто й ф орм ул е:

Здесь x 0 - л ю бое п р и б л иж енн о е з н а че ни е, н а пр и м ер д ля √ 1 2 м ож но в зя ть 3 .

Запи ш ем ф орм ул у в в и д е п р огр ам мы :
fr o m d ecim al im port D ecim al

prin t ( " К ва д ратн ы й к о рень:" )
num ber = D ecim al( 1 2)
re su lt = D ecim al( 3 )
fo r p in r a nge(1 ,9 ):
r e su lt = ( re su lt + n um ber/r e su lt ) /D ecim al( 2 )
d if fe re nce = r e su lt * *2 - n um ber
p rin t ( p , r e su lt , d if f e re nce )
sq rt1 2 = r e su lt

Резу л ьта ты в е сь м а и нте ресн ы :
Шаг Зна че ни е Погр еш но сть
1 3.5 0.2 5
2 3.4 6428571 4285714 0.0 0127
3 3.4 6410162 0029455 3.3 890E -8
4 3.4 6410161 5137754 2.3 92873369E -1 7

Резу л ьта т: √ 1 2 = 3 .4 641 016 1513 7754

Как мож но ви д еть , сд ел ав все го 4 шага , мож но по л уч и ть √1 2 с доста то чн о й то чн о сть ю ,
за д ача в п о л не п о си л ьн а я д аж е д ля р уч н ы х р асч е то в 1 5 в е ка .

Нако не ц , з а пр огр ам мируе м в то рую ч а сть а л го ри тм а - с о б ств е нно в ы чи сл ени е П и.
su m = D ecim al( 1 )
sig n = - 1
fo r p in r a nge(1 ,3 2):

s u m + = D ecim al( s ig n)/D ecim al( ( 2 *p + 1)* (3 **p ))
s ig n = - s ig n
p rin t( p , s q rt1 2*s u m )
prin t( " R esu lt :" , s q rt1 2*s u m )

Резу л ьта ты р аб оты п р огр ам мы :
Шаг Зна че ни е
1 3.0 7920143 5678004077382126829
2 3.1 5618147 1569954179316680000
3 3.1 3785289 1595680345522738769
4 3.1 4260474 5663084672802649458
5 3.1 4130878 5462883492635401088
6 3.1 4167431 2698837671656932680
7 3.1 4156871 5941784242161823554
8 3.1 4159977 3811505839072149767
9 3.1 4159051 0938080099642754230
10 3.1 4159330 4503081513121460820
11 3.1 4159245 4287646300323593597
12 3.1 4159271 5020379765581606212
13 3.1 4159263 4547313881242713430
14 3.1 4159265 9521713638451335328
15 3.1 4159265 1733997585128216671
16 3.1 4159265 4172575339199092210
17 3.1 4159265 3406165187919674184
18 3.1 4159265 3647826046431202391
19 3.1 4159265 3571403381773710565
20 3.1 4159265 3595634958372427485
21 3.1 4159265 3587933449530974820
22 3.1 4159265 3590386522717511595
23 3.1 4159265 3589603627019680710
24 3.1 4159265 3589853940610143646

Уж е на 24м шаге мы по л уч а ем иско м ы е 11 зн а ко в чи сл а Пи. Зад ача явн о тр е б ова л а
бол ьш е в р ем ени ч е м с е й ча с, н о в п о л не м огл а б ы ть р еш ена в с р ед ни е в е ка .

Совр ем енны е форм ул ы не сто л ь пр осты вн е ш не , за то раб ота ю т ещ е бы стр е е. Для
пр и м ера м ож но п р и ве сти ф орм ул у Ч уд но вско го :

Для ср авн е ни я, те же 24 ите р ац ии по это й форм ул е даю т чи сл о Пи со сл ед ую щ ей
то чн о сть ю :
3.1 41592653589793238462 6433832795028841971693993751058209749445923078164062862089
986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502
841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652
71201909145648566923460348610454326648213393607260249.

Есл и сд ел ать 100 ите р ац ий и вы чи сл ить 10 00 зн а ко в Пи, то мож но ув и д еть та к
на зы ва ем ую “ т о чку Ф ей нм ана ”:

3.1 41592653589793238462 6433832795028841971693993751058209749445923078164062862089
986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502
841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652
712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748
815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330
572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912
279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392
171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371
787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344
1815981362977477130996051870721134 ​999999 ​83729780499510597317328160963185950244594
553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171
776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066
13001927876611195909216420207

Это по сл ед ова те л ьн о сть “9 999 99”, на хо д ящ аяся на 76 2м зн а ке от на ча л а. Жел аю щ ие
могу т по экс п е ри м енти рова ть дал ьш е са м осто яте л ьн о с по м ощ ью пр огр ам мы на язы ке
Pyth on:
fr o m m ath im port fa cto ria l
fr o m d ecim al im port *

def c h udnovsky(n ):
p i = D ecim al( 0 )
k = 0
w hile k < n :
pi + = ( D ecim al( - 1 )* *k )* (D ecim al( fa cto ria l( 6 *k ))/( (fa cto ria l( k )* *3 )* (fa cto ria l( 3 *k )))*
(1 3591409 + 5 45140 134*k )/( 6 40320**(3 *k )))
k + = 1
prin t( " Ш аг: { } и з { }" .fo rm at( k , n ))
p i = p i * D ecim al( 1 0005).s q rt( )/4 270934400
p i = p i* *(-1 )
r e tu rn p i

# Т реб уе м ая т о чн о сть ( ч и сл о з н а ко в)
N = 1 000
getc o nte xt( ).p re c = N

va l = c h udnovsky(N /1 4)
prin t( v a l)

Эта пр огр ам ма не опти м изи рова на , и раб ота ет дово л ьн о -т а ки мед ленно , но для
озн а ко м лени я с суть ю ал го ри тм а это го вп о л не доста то чн о . Кста ти , с по м ощ ью
форм ул ы Чуд но вско го два инж ене ра Алекс а нд р Йи и Синге ру Конд о в 201 0 го д у
об ъ яви л и о но во м мирово м реко р д е вы чи сл ени я Пи на пе рсо на л ьн о м ко м пью те ре: 5
тр л н зн а ко в по сл е за пято й . Ком пью те р у с 12 яд ра м и, 97Гб па м яти и 19 жестки м и
диска м и п о тр еб ова л ось 6 0 д не й д ля в ы по л не ни я р асч е то в.

На это м мы за ко нчи м с чи сл ом Пи, хо тя с ни м ко не чн о , св я за но ку д а бол ьш е
инте ресн ы х факт о в. Напр и м ер 3 мар та (т .е . 03.1 4) отм еча етс я меж дун а ро д ны й “д ень
чи сл а П и”, н у а д руги е ф акт ы ч и та те л и м огу т п о и ска ть с а м осто яте л ьн о .

4. В ы чи сл ени е р ад иуса З ем ли
О то м , что Зем ля кр угл ая се го д ня зн а е т ка ж ды й шко л ьн и к, и ни ко го не уд иви ть та ки м
ви д ом п л ане ты и з к о см оса .

Одна ко в исто ри че ско м пл ане , ув и д еть пл ане ту св ы со ка мы см огл и со все м -с о все м
не д авн о . Как же мог гр е че ски й уч е ны й Эра то сф ен изм ери ть рад иус Зем ли, в 240 го д у
до на ш ей эр ы ? Ока зы ва етс я мог, исп о л ьзу я 2 на уч н ы х “и нстр ум ента ” - тр ансп о рти р и
ве рб л ю да, н у и р азу м еетс я , м ате м ати ку .

Эрато сф ен жил в Алекс а нд ри и - кр уп н е й ш ем го ро д е то го вр ем ени , центр ом на уки и
иску сств древн е го мира. В Алекс а нд ри и по пр ед ани ю , на хо д ил ся маяк вы со то й 120
метр ов - даж е се го д ня та ко е со оруж ени е не пр осто по стр ои ть , а в то вр ем я маяк
сч и та л ся од ни м из 7 чуд ес св е та . Эрато сф ен же бы л не то л ько уч е ны м, но и
хр ани те л ем А лекс а нд ри й ско й б иб л иоте ки , с о д ерж ащ ей д о 7 00000 к н и г.

Чита я тр уд ы по ге огр аф ии, Эрато сф ен на ш ел инте ресн ы й факт - в го р од е Сиене в
день летн е го со л нц есто ян и я Сол нц е сто и т та к вы со ко , что пр ед м еты в по л день не
отб расы ва ю т те ни . Друго й мож ет и не об ра ти л бы на это вн и м ани е, но Эрато сф ен не
зр я инте ресо ва л ся и мате м ати ко й и астр оно м ией . Он зн а л что в его го ро д е
Алекс а нд ри и те нь в это т же день им еет друго й уго л . Эрато сф ен дож дал ся
со л нц есто ян и я, и зм ери л у го л с о л не чн ы х л уч е й и п о л уч и л в е л ичи ну 7 ,2 г р ад уса .

Что это зн а чи т? Объ ясн е ни е данн о м у факт у могл о бы ть то л ько од но - Зем ля кр угл ая,
и у го л п а д ени я с о л не чн ы х л уч е й в р азн ы х т о чка х З ем ли в о д но в р ем я р азл ича етс я .

Картинка с сайта phVLFVIRUPHFRm

Дал ьш е, ка к го во ри тс я , дел о те хн и ки . Зна я пр и м ерно е рассто ян и е меж ду Сиено м и
Алекс а нд ри ей (к о то рое бы ло изв е стн о из вр ем ени в пути ка ра ва на ве рб л ю дов) и уго л ,
легк о по л уч и ть длину все й окр уж но сти . К че сти Эрато сф ена , его резу л ьта т отл ича етс я
от се го д няш не го все го лиш ь на 1% . Так, за д ол го до эп о хи ави ац ии и во зд ухо пл ава ни я,
че л ове к вп е рвы е см ог изм ер и ть рад иус пл ане ты , даж е пр и это м не отр ы ва ясь от не е .
Уви д еть на сто ящ ую кр и ви зн у Зем ли сум ел и лиш ь пи л оты стр ато ста то в в на ча л е 20
ве ка , б ол ее ч е м ч е рез 2 0 00 л ет п о сл е о пи са нно го о пы та .

Разу м еетс я , по вто ри ть по д об ны й экс п е р и м ент се го д ня легк о мож ет лю бой шко л ьн и к.
Нуж но лиш ь сд ел ать пр о сте й ш ий угл ом ер из тр а нсп о рти ра и отв е са , и с по м ощ ью
зн а ко м ы х в друго м го род е, сд ел ать изм ере ни я вы со ты Сол нц а в двух то чка х в од но и
то ж е в р ем я.
5. П росты е ч и сл а
Каж ды й зн а ет, что пр осты е чи сл а — та ки е чи сл а, ко то ры е дел ятс я то л ько на ед ини ц у
и са м их се б я. Но та к ли они пр осты , ка к ка ж утс я , и акт у а л ьн ы ли се го д ня? Попр об уе м
разо б рать ся .

То, что сущ еств ую т чи сл а, ко то ры е не дел ятс я ни на ка ко е друго е чи сл о, лю ди зн а л и
ещ е в д ревн о сти . П осл ед ова те л ьн о сть п р осты х ч и се л и м еет с л ед ую щ ий в и д :
1, 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1, 1 3, 1 7, 1 9 , 2 3, 2 9, 3 1, 3 7, 4 1, 4 3, 4 7, 5 3, 5 9, 6 1 …

Дока за те л ьств о то го , что эти х чи се л беско не чн о мно го , дал ещ е ​Евкл ид ​, живш ий в
300 г до н.э . При м ерно в те же го д ы уж е изв е стн ы й на м гр ече ски й мате м ати к
Эрато сф ен ​, пр и д ум ал дово л ьн о -т а ки пр осто й ал го ри тм по л уч е ни я пр осты х чи се л ,
суть ко то рого бы ла в по сл ед ова те л ьн о м вы че рки ва ни и чи се л из та б л иц ы . Те
оста вш иеся чи сл а, ко то р ы е ни на что не дел ил ись , и бы ли пр осты ми. Алго ри тм

на зы ва етс я «реш ето Эра то сф ена » и за сч е т св о ей пр осто ты (в не м не т опе ра ц ий
ум но ж ени я ил и дел ени я, то л ько сл ож ени е) исп о л ьзу е тс я в ко м пью те рно й те хн и ке до
си х п о р.

Вид им о, уж е во вр ем я Эрато сф ена ста л о ясн о , что ка ко го -л иб о че тко го кр и те ри я,
явл яе тс я ли чи сл о пр осты м, не сущ еств уе т — это мож но пр ове ри ть лиш ь
экс п е ри м ента л ьн о . Сущ еств ую т разл ичн ы е сп о со б ы для уп р ощ ени я пр оц есса
(н а пр и м ер, оче ви д но , что чи сл о не дол ж но бы ть че тн ы м), но пр осто й ал го ри тм
пр ове рки не на й д ен до си х по р, и ско рее все го на й д ен не буд ет: что б ы узн а ть , пр осто е
чи сл о и л и н е т, н а д о п о пы та ть ся р а зд ел ить е го н а в се м еньш ие ч и сл а.

Это н е сл ож но з а пи са ть в в и д е п р огр ам мы н а я зы ке P yth on:
im port m ath

def is _ prim e(n ):
if n % 2 = = 0 a nd n > 2 :
r e tu rn F als e
fo r i in r a nge(3 , in t( m ath .s q rt( n )) + 1 , 2 ):
if n % i = = 0 :
r e tu rn F als e
r e tu rn T ru e

# В ы во д в се х п р осты х ч и се л о т 1 д о N
N = 1 00
fo r p in r a nge(1 , N , 2 ):
if is _ prim e(p ): p rin t( p )

# В ы во д р езу л ьта та , я вл яе тс я л и з а д анно е ч и сл о п р осты м
prin t( is _ prim e(2 147483647))

Жел аю щ ие м огу т п о экс п е ри м енти ро ва ть с п р огр ам мой с а м осто яте л ьн о .

Под чи няю тс я ли пр осты е чи сл а ка ки м -л иб о за ко на м ? Да, и они дово л ьн о лю бопы тн ы .
Так, на пр и м ер, франц узс ки й мате м ати к Мер се нн ещ е в 16 ве ке об на р уж ил , что мно го
пр осты х чи се л им еет ви д 2 ​N — 1, эти чи сл а на зв а ны ​чи сл ам и Мер сен на ​. Ещ е
не за д ол го до это го , в 15 88 го д у, ита л ья н ски й мате м ати к Ката л ьд и об на руж ил пр осто е
чи сл о 2 ​19 — 1 = 524287 (п о кл асси ф ика ц ии Мер се нна оно на зы ва етс я M19). Сего д ня
это чи сл о ка ж етс я ве сь м а ко ротки м , од на ко даж е се й ча с с ка л ьку л ято ро м пр ове р ка его
пр осто ты за нял а бы не од ин день, а дл я 16 ве ка это бы ло дей ств и те л ьн о огр о м но й
раб ото й . На 200 лет по зж е мате м ати к ​Эйл ер ​на ш ел друго е пр осто е чи сл о 2 ​31 — 1 =
2147483647. Необ хо д им ы й об ъ ем вы чи сл ени й ка ж ды й мож ет пр ед ста ви ть са м . Он же
вы дви нул ги по те зу , на зв а нную по зж е «пр об л ем ой Эйл ера », ил и «б ина рно й пр об л ем ой
Го л ьд баха »: ка ж дое чё тн о е чи сл о, бол ьш ее двух, мож но пр ед ста ви ть в ви д е сум мы
двух пр осты х чи се л . Напр и м ер, мож но взя ть 2 лю бы х че тн ы х чи сл а: 1234 56 и
888777888. С по м ощ ью ко м пью те ра мож но на й ти их сум му в ви д е двух пр осты х чи се л :
123456 = 61813 + 61643 и 8887 7788 8 = 4443 8897 9 + 4443 889 09. Инте ресн о зд есь то ,
что то чн о е дока за те л ьств о это й те оре м ы не на й д ено до си х по р, хо тя с по м ощ ью
ко м пью те ров о на б ы ла п р о ве рена д о ч и се л с 1 8 н ул ям и.

Сущ еств уе т и друга я те о рем а, на зы ва ем ая те о рем ой Ферм а-Э йл ер а, откр ы та я в 1640
го д у, ко то рая го во ри т о то м , что есл и пр осто е чи сл о им еет ви д 4*k + 1, то оно мож ет
бы ть пр ед ста вл ено в ви д е сум мы кв а д ра то в други х чи се л . Так, на пр и м ер , в на ш ем
пр и м ере пр осто е чи сл о 4443 8890 9 = 4*1 110 9722 7 + 1. И дей ств и те л ьн о , с по м ощ ью
ко м пью те ра мож но на й ти , что 44 4388 909 = 1919 7*1 919 7 + 8710 *8 710 . Теор ем а бы ла
дока за на Э йл ером л иш ь ч е рез 1 00 л ет.

И на ко не ц Бернха рд ом Рим ано м в 1859 го д у бы ла вы дви нута та к на зы ва ем ая
«Ги по те за Рим ана » о ко л иче ств е расп р ед ел ени я пр осты х чи се л , не пр ево схо д ящ их
не ко то рое чи сл о. Эта ги по те за не дока за на до си х по р, она вхо д ит в сп и со к се м и
«пр об л ем ты ся че л ети я» , за реш ени е ка ж дой из ко то ры х Мате м ати че ски й инсти ту т
Кл эя в К ем бри д ж е г о то в в ы пл ати ть н а гр ад у в о д ин м ил лион д ол ларов С Ш А.

Так что с пр осты ми чи сл ам и не все та к пр осто . Есть и уд иви те л ьн ы е факт ы . Напр и м ер ,
в 1883 г. русски й мате м ати к ​И.М .П ер в уш ин из Перм ско го уе зд а дока за л пр осто ту
чи сл а 2 ​61 — 1 = 23058 4300 9213 6939 51. Даж е се й ча с ко м пью те ру с за пущ енно й
вы ш епр и ве д енно й пр огр а м мой тр е б уе тс я не ско л ько минут на пр ове рку данно го чи сл а,
а н а т о в р ем я э то б ы ла п о и сти не г и га нтс ка я р аб ота .

Кст ат и инт ересн о , чт о сущ ест вую т лю ди , об л ада ю щ ие ун и ка л ьн ы ми сп о со б но ст ям и мозг а
— так на пр им ер, изв е ст ны аут ист ы, сп о со б ны е на хо ди т ь в ум е (!) 8-з н а чн ы е пр ост ые
чи сл а. Как они эт о де л аю т , не по нят но . Тако й пр им ер опи сы ва ет ся в кн и ге изв е ст но го
вр ача -п си хо л ога Оливе ра Сакс а “Ч ел ове к, ко т оры й пр инял жену за шляп у”. По не ко т оры м
пр едпо л ож ени ям , таки е лю ди об л ада ю т сп о со б но ст ью “в и де т ь” чи сл овы е ряд ы ви зу а л ьн о , и
по л ьзу ю т ся мет одо м “р еш ет а Эрат осф ена ” дл я опр еде л ени я, явл яе т ся ли чи сл о пр ост ым
ил и н е т .

Ещ е од на инте ресн а я ги по те за бы ла вы дви нута ​Фер м а ​, ко то ры й пр ед по л ож ил , что все
чи сл а в и д а

явл яю тс я пр осты ми. Эти чи сл а на зы ва ю тс я “ч и сл ам и Ферм а”. Одна ко , это ока за л ось
ве рны м то л ько для 5 пе р вы х чи се л : F ​0 ​=3, F ​1 ​=5, F ​2 ​=17,F ​3 ​=257 , F ​4 ​=655 37. В 1732 го д у
Эйл ер ​опр ове рг ги по те зу , на й д я разл ож ени е на мно ж ите л и для F ​5 ​: F ​5 ​= 641·6 70041 7.
Сущ еств ую т ли други е пр осты е чи сл а Ферм а, по ка не и зв е стн о до си х по р. Таки е чи сл а
расту т оче нь бы стр о (д ля пр и м ера, F ​7 ​=3402 8236 6920 9384 6346 337 46074 317 68211457),
и и х п р ове рка я вл яе тс я н е пр о сто й з а д аче й д аж е д ля с о вр ем енны х к о м пью те ров.

Акт у а л ьн ы ли пр осты е чи сл а се го д ня? Ещ е ка к! Про сты е чи сл а явл яю тс я осн о во й
со вр ем енно й кр и пто гр а ф ии, та к что бол ьш инств о лю дей по л ьзу ю тс я им и ка ж ды й день,
даж е не за д ум ы ва ясь об это м . Лю бой пр оц есс ауте нти ф ика ц ии, на пр и м ер ,
реги стр ац ия те л еф она в се ти , банко вски е пл ате ж и и пр оче е , тр е б ую т
кр и пто гр аф иче ски х ал го р и тм ов. Суть ид еи ту т кр ай не пр оста и леж ит в осн о ве
ал го ри тм а ​RSA ​, пр ед лож енн о го ещ е в 1975 го д у. Отп р ави те л ь и по л уч а те л ь
со вм естн о вы бираю т та к на зы ва ем ы й «за кр ы ты й кл ю ч» , ко то ры й хр ани тс я в на д еж но м
месте . Это т кл ю ч пр ед ста вл яе т со б ой , ка к, на ве рно е, чи та те л и уж е дога д ал ись ,

пр осто е чи сл о. Вто рая ча сть — «о ткр ы ты й кл ю ч» , то ж е пр осто е чи сл о, форм ируе тс я
отп р ави те л ем и пе ред аетс я в ви д е пр ои зв е д ени я вм есте с со об щ ени ем откр ы ты м
те кс то м , его мож но опуб л ико ва ть даж е в га зе те . Суть ал го р и тм а в то м , что не зн а я
«за кр ы то й ч а сти », п о л уч и ть и схо д ны й т е кс т н е во зм ож но .

К пр и м еру, есл и взя ть два пр осты х чи сл а 4443 8897 9 и 444 38890 9, то «за кр ы ты м
кл ю чо м » буд ет 44 438 8979 , а откр ы то буд ут пе ред ано пр ои зв е д ени е
197481533549433911 (4 443 8897 9*4 443 8890 9). Лиш ь зн а я вто рую по л ови нку , мож но
вы чи сл ить н е д оста ю щ ее ч и сл о и р асш иф рова ть и м т е кс т.

В че м хи тр ость ? А в то м , что пр ои зв е д ени е двух пр осты х чи се л вы чи сл ить не сл ож но , а
во т об ратн о й опе рац ии не сущ еств уе т — есл и не зн а ть пе рво й ча сти , то та ка я
пр оц ед ур а мож ет бы ть вы по л не на лиш ь пе реб оро м . И есл и взя ть дей ств и те л ьн о
бол ьш ие пр осты е чи сл а (н а пр и м ер, в 2000 си м во л ов длино й ), то деко д ирова ни е их
пр ои зв е д ени я за й м ет не ско л ько лет даж е на со вр ем енн о м ко м пью те ре (к то м у
вр ем ени со об щ ени е ста не т давн о не акт у а л ьн ы м). Ге ни ал ьн о сть данно й схе м ы в то м ,
что в са м ом ал го ри тм е не т ни че го се кр етн о го — он откр ы т и все данн ы е леж ат на
по ве рхн о сти (и ал го ри тм , и та б л иц ы бол ьш их пр осты х чи се л изв е стн ы ). Сам шиф р
вм есте с откр ы ты м кл ю чо м мож но пе ре д ава ть ка к уго д но , в лю бом откр ы то м ви д е. Но
не зн а я се кр етн о й ча сти кл ю ча , ко то рую вы брал отп р а ви те л ь, за ш иф рова нны й те кс т
мы не по л уч и м . Для пр и м ера мож но ска за ть , что опи са ни е ал го ри тм а RSA бы ло
на пе ча та но в жур на л е в 1977 го д у, та м же бы л пр и ве д ен пр и м ер шиф ра. Лиш ь в 1993
го д у пр и по м ощ и расп р ед ел енн ы х вы чи сл ени й на ко м пью те ра х 600 доб рово л ьц ев,
бы л п о л уч е н п р ави л ьн ы й о тв е т.

В з а ве рш ени е т е м ы п р осты х ч и се л , п р и ве д ем в и д т а к н а зы ва ем ой “ с п и рал и У лам а”.
Мате м ати к ​Ста н и сл ав У л ам ​ о ткр ы л е е с л уч а й но в 1 963 г о д у, р и суя в о в р ем я с ку ч н о го
докл ад а н а б ум аге ч и сл овую с п и рал ь и о тм еча я н а н е й п р осты е ч и сл а:

Как ока за л ось , пр осты е чи сл а об разу ю т вп о л не по вто р яю щ иеся узо ры из
диаго на л ьн ы х лини й. В бол ее вы со ко м разр еш ени и изо б ра ж ени е вы гл яд ит та к
(к а рти нка с с а й та ​http ://u la m sp ir a l. c o m ​):

В об щ ем , мож но пр ед по л ож ить что дал еко не все та й ны пр осты х чи се л раскр ы ты и до
си х п о р.
6. С ове рш енны е ч и сл а
Ещ е од но уд иви те л ьн о е св о й ств о мира чи се л бы ло дока за но ещ е ​Евкл ид ом ​: есл и
чи сл о ви д а 2 ​p ​-1 явл яе тс я пр осты м (у ж е изв е стн о е на м чи сл о Мерсе нна ), то чи сл о
2 ​P-1 ​(2 ​p ​-1 ) я вл яе тс я ​со в ер ш ен ны м ​, т .е . р а вн о с ум ме в се х е го д ел ите л ей .

Рассм отр и м п р и м ер д ля p = 13:
2 ​13 ​-1 = 8191. Как по ка зы ва ет пр и ве д енна я ране е пр огр а м ма, 8191 - дей ств и те л ьн о
пр осто е ч и сл о.
2 ​12 ​*(2 ​13 ​-1 ) = 3 3550336.

Что б ы н а й ти в се д ел ите л и ч и сл а и и х с ум му, н а пи ш ем н е б ол ьш ую п р огр ам му:
def is _ perfe ct( n ):
s u m = 0
fo r i in r a nge(1 , in t( n /2 )+ 1):
if n % i = = 0 :
s u m + = i
p rin t( i)
p rin t( " С ум ма",s u m )
r e tu rn s u m = = n

is _ perfe ct( 3 3550336)

Дей ств и те л ьн о , 3355033 6 дел итс я на чи сл а 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 , 1024 ,
2048, 4096, 8191, 1638 2, 3276 4, 6552 8, 1310 56, 2621 12, 524 224, 104 8448, 2096 896 ,
4193792, 8 387584, 1 67751 68. И с ум ма э ти х ч и се л р авн а и ско м ом у 3 3550336.

Сове рш енны е чи сл а встр е ча ю тс я дово л ьн о -т а ки ред ко , их по сл ед ова те л ьн о сть
со гл асн о В ики пе д ии, о б ра зу е т в и д :
6,
28,
496,
8128,
33 5 50 3 36,
8 5 89 8 69 0 56,
137 4 38 6 91 3 28,
2 3 05 8 43 0 08 1 39 9 52 1 28,
2 6 58 4 55 9 91 5 69 8 31 7 44 6 54 6 92 6 15 9 53 8 42 1 76,

Кста ти , ещ е Эйл ер дока за л , что все со ве рш енны е чи сл а им ею т то л ько ви д 2 ​p-1 ​(2 ​p ​-1 ). А
во т не че тн ы х со ве рш енны х чи се л по ка не об на руж ено , но и не дока за но что их не
сущ еств уе т. Инте ресн о пр ове ри ть это т факт пр акт и че ски . Сове р ш енно е чи сл о
137438691328 об на руж ил ещ е не м ец ки й мате м ати к Иога нн Мюлл ер в 16 ве ке . Сего д ня
та ко е ч и сл о н е сл ож но п р ове р и ть н а к о м пью те р е.

Во-п е рвы х, сл егк а опти м изи руе м пр и ве д енную вы ш е пр огр ам му. Как не тр уд но ви д еть ,
есл и чи сл о N дел итс я на ц ел о на P, то мы “а вто м ато м ” ср азу на хо д им и вто рой
дел ите л ь N/P . Напр и м ер , есл и 10 дел итс я на ц ел о на 2, то оно дел итс я и на 10/2 = 5.
Это по зв о л яе т за м етн о со кр ати ть чи сл о ва р и анто в пе реб ора . Во-в то ры х, исп о л ьзу е м
ти п чи се л Decim al, по зв о л яю щ ий исп о л ьзо ва ть бол ьш ие чи сл а. Обно вл енна я
пр огр ам ма в ы гл яд ит т а к:

fr o m d ecim al im port *

def is _ perfe ct( n ):
s = D ecim al( 1 )
p = D ecim al( 2 )
w hile p < n .s q rt( )+ 1:
if n % p = = 0 :
s + = p
if p != n /p : s + = n /p
p + = 1
r e tu rn s = = n

prin t( is _ perfe ct( D ecim al( '1 37438691328') ))

Запуска ем , пр огр ам ма раб ота ет - чи сл о '1 37 4386 9132 8' дей ств и те л ьн о явл яе тс я
со ве рш енны м. Оно дел итс я на 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 25 6, 512, 1024 , 204 8, 409 6,
8192, 16384, 32768, 65 536 , 1310 72, 2621 44, 5242 87, 1048 574 , 2097 148 , 419 4296,
8388592, 16777184, 3355 4368 , 6710 8736 , 1342 1747 2, 2684 349 44, 536 86988 8,
1073739776, 21474795 52, 42 9495 9104 , 8589 9182 08, 1717 9836 416 , 3435 967 2832 и

68719345664, сум ма эти х чи се л равн а 1374 3869 1328 . Одна ко , на моем ко м пью те ре
пр ове рка “с о ве рш енно сти ” данно го чи сл а за нял а … 54 се ку н д ы . Это ко не чн о бы стр о
по ср авн е ни ю с 16м ве ко м , но со ве рш енно не д оста то чн о что б ы пр ове р и ть все чи сл а,
хо тя бы до мил лиард а. Зна чи т по ра исп о л ьзо ва ть бол ее тя ж ел ую арти л лери ю -
пе репи ш ем пр огр ам му на язы ке Си. Все -т а ки Pyth on это инте рпр ета то р, и раб ота ет
за м етн о м ед ленне е. П ол уч а ем ы й к о д н е н а м но го с л ож не е:

#in clu de < str in g.h >
#in clu de < m ath .h >
#in clu de < std bool. h >
#in clu de < std in t.h >

bool is P erfe ct( u nsig ned lo ng lo ng in t n )
{
u nsig ned lo ng lo ng in t s u m = 1 , i;
fo r(i= 2; i< =sq rt( n )+ 1; i+ +)
{
if ( n % i= =0) {
s u m + = i;
if ( i != n /i) {
s u m + = n /i;
}
}
}
r e tu rn s u m = = n ;
}

in t m ain ()
{
u nsig ned lo ng lo ng in t n = 1 3743 8691 328L L;
b ool r e s = is P erfe ct( n );
p rin tf( " % d\n ", r e s);

r e tu rn 0 ;
}

Ком пи л ируе м пр огр ам му с по м ощ ью ко м пи л ято р а gcc, за пуска ем по л уч и вш ийся
exe -ф ай л : вр ем я вы по л не ни я меньш е се ку н д ы , уж е го ра зд о луч ш е. Тепе рь не сл ож но
по м енять фун кц ию main для пе реб ора все х чи се л от 1 до 20 0000 000 000. В ко д та кж е
доб авл ен вы во д пр ом еж уто чн ы х резу л ьта то в ка ж ды е 1000 000 ите р ац ий, что б ы ви д еть
хо д в ы по л не ни я п р огр ам мы .

in t m ain ()
{
u nsig ned lo ng lo ng in t M AX = 2 000 0000 0000 LL;
u nsig ned lo ng lo ng in t p ;
fo r ( p = 1; p < M AX; p + + ) {
if ( is P erfe ct( p ))
p rin tf( " % llu " , p );
if ( p % 1 00000 0 = = 0 )
p rin tf( " * % llu ,% llu *", 1 0 0*p /M AX, p );
}
}

Увы , пр огн о з отн о си те л ьн о ско рости расч е то в ока за л ся сл иш ко м опти м исти чн ы м.
При м ерно за ча с раб оты пр огр а м мы , бы ло пе реб рано лиш ь 100м лн ва ри анто в, а для

пе реб ора все х 200м лрд по на д об ил ся бы не од ин день. Жел аю щ ие могу т пр од ол ж ить
пр оц есс са м осто яте л ьн о , од на ко с ув е ренно сть ю мож но ска за ть что в диапа зо не от 1
до 100000000 дей ств и те л ьн о не т со ве рш енны х чи се л кр ом е 6, 28, 496 , 8128 и
33550336.
Прове рка чи сл а 2 305 843 008 13 9 952 128 явл яе тс я не пр осто й за д аче й даж е для
со вр ем енно го дом аш не го ко м пью те ра - во -п е рвы х, в язы ке C/C ++ не т встр оенны х
ти по в данны х для сто л ь бол ьш ого чи сл а, а во -в то ры х, чи сл о ва ри анто в пе реб ора
ве сь м а в е л ико .

Разу м еетс я , вы ш е бы ло пр и ве д ено са м ое пр осто е реш ени е “в лоб ”, мож но
опти м изи рова ть и са м у пр огр ам му, на пр и м ер разб ить вы чи сл ени е на не ско л ько
пр оц ессо рны х яд ер, од на ко данна я за д ача вы хо д ит за рам ки это го мате ри ал а.
Нем но го п р о п а рал лел ьн ы е в ы чи сл ени я б уд ет р асска за но в к о нц е к н и ги .
7. М аги че ски й к в а д рат
Ещ е од на ста ри нна я мате м ати че ска я го л ово л ом ка - маги че ски й кв а д ра т. Маги че ски м
на зы ва ю т кв а д рат, за по л не нны й не по вто р яю щ им ися чи сл ам и та к, что сум мы чи се л по
го ри зо нта л ям , ве рти ка л ям и диаго на л ям од ина ко вы . Таки е кв а д раты изв е стн ы давн о ,
са м ы м ста ры м из изв е стн ы х явл яе тс я маги че ски й кв а д ра т Ло Шу, изо б раж енн ы й в
Кита е в 2200г до на ш ей эр ы . Есл и по д сч и та ть ко л иче ств о то че к, то мож но пе реве сти
кв а д рат в с о вр ем енны й в и д , и зо б раж енны й с п р ава .

Маги че ски й к в а д рат 4 х4 б ы л о б на руж ен в и нд ийски х н а д пи ся х 1 1 в е ка :

И на ко не ц , изв е стн ы й кв а д ра т 4х4 , изо б раж енн ы й на гр авю ре не м ец ко го худ ож ни ка
Дю рера “М ел анхо л ия”. Это т кв а д ра т изо б раж ен не пр осто та к, 2 чи сл а 1514 ука зы ва ю т
на д ату с о зд ани я г р авю ры .



Как мож но ви д еть , уж е мате м ати ки пр ош лого ум ел и стр о и ть маги че ски е кв а д раты
разн о й р азм ерно сти . И нте р есн о р а ссм отр е ть и х с в о й ств а .

Сум ма ч и сел ​ м аги че ско го к в а д рата р азм ера N xN з а ви си т т о л ько о т N , и о пр ед ел яе тс я
форм ул ой :

Это не сл ож но дока за ть , т.к . сум ма все х чи се л кв а д ра та равн а сум ме ряд а 1..N ​2 ​.
Дей ств и те л ьн о , для кв а д рата Дю рера M(4 ) = 34, что мож но по сч и та ть на ка рти не . Для
кв а д рато в разн о й разм ерно сти сум мы равн ы со отв е тс тв е нн о : M(3 ) = 15, M(4 ) = 34,
M(5 ) = 6 5, M (6 ) = 1 11, M (7 ) = 1 75, M (8 ) = 2 60, M (9 ) = 3 69, M (1 0) = 5 05.

Напи ш ем пр огр ам му дл я по стр о ени я маги че ски х кв а д ра то в разм ерно сти N. Первы й
по д хо д буд ет “в лоб ”, на пр ям ую . Созд ад им масси в, со д ер ж ащ ий все чи сл а от 1 до N ​2 и
по л уч и м все во зм ож ны е пе ре ста но вки это го масси ва . Их чи сл о дово л ьн о -т а ки ве л ико ,
и со ста вл яе т 1*2 *..* N = N! ва ри анто в. Такж е для ка ж дого масси ва не об хо д им о
пр ове ри ть , явл яе тс я ли он “м аги че ски м ”, т.е . вы по л няе тс я ли тр е б ова ни е раве нств а
сум м.

Для по л уч е ни я все х пе реста но во к во сп о л ьзу е м ся ал го ри тм ом , опи са нн ы м зд есь -
http s://p ro g-c p p.r u /p erm uta tio n / ​.

Код п р огр ам мы п р и ве д ен н и ж е:
def s w ap(a rr, i, j) :
a rr[i] ,a rr[j] = a rr[j] ,a rr[i]

def n ext_ se t( a rr, n ):
j = n - 2
w hile j != - 1 a nd a rr[j] > = a rr[j + 1 ]: j - = 1

if j = = - 1 :
r e tu rn F als e
k = n - 1
w hile a rr[j] > = a rr[k ]: k - = 1
s w ap(a rr, j, k )
l = j + 1
r = n - 1
w hile l < r :
s w ap(a rr, l, r )
l + = 1
r - = 1
r e tu rn T ru e

def is _ m agic (a rr, n ):
fo r i in r a nge(0 , n ):
s u m 1 = 0
s u m 2 = 0
s u m 3 = 0
s u m 4 = 0
fo r j in r a nge(0 , n ):
s u m 1 + = a rr[i* n + j]
s u m 2 + = a rr[j* n + i]
s u m 3 + = a rr[j* n + j]
s u m 4 + = a rr[( n -j- 1 )* n + j]
if s u m 1 != s u m 2 o r s u m 1 != s u m 3 o r s u m 1 != s u m 4 o r s u m 2 != s u m 3 o r s u m 2 != s u m 4 o r s u m 3 != s u m 4:
r e tu rn F als e
r e tu rn T ru e

def s h ow _sq uare s(n ):
N = n *n
a rr = [i+ 1 fo r i in r a nge(N )]

c n t = 0
w hile n ext_ se t( a rr, N ):
if is _ m agic (a rr, n ):
p rin t( a rr)
c n t + = 1

r e tu rn c n t

# Т реб уе м ая р азм ерно сть
cn t = s h ow _sq uare s(3 )
prin t( " Ч исл о в а ри анто в:" , c n t)

Прогр ам ма в ы дал а 8 в а ри анто в д л я N =3, в р ем я в ы чи сл ени я с о ста ви л о 2 с е ку н д ы :
[2 , 7 , 6 , 9 , 5 , 1 , 4 , 3 , 8 ] [6 , 1 , 8 , 7 , 5 , 3 , 2 , 9 , 4 ]
[2 , 9 , 4 , 7 , 5 , 3 , 6 , 1 , 8 ] [6 , 7 , 2 , 1 , 5 , 9 , 8 , 3 , 4 ]
[4 , 3 , 8 , 9 , 5 , 1 , 2 , 7 , 6 ] [8 , 1 , 6 , 3 , 5 , 7 , 4 , 9 , 2 ]
[4 , 9 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 1 , 6 ] [8 , 3 , 4 , 1 , 5 , 9 , 6 , 7 , 2 ]

Дей ств и те л ьн о , к а к и зв е стн о , с ущ еств уе т т о л ько 1 м аги че ски й к в а д рат 3 х3 :

Оста л ьн ы е явл яю тс я лиш ь его по во рота м и ил и отр аж ени ям и (о че ви д но что пр и
по во роте к в а д рата е го с в о й ств а н е и зм енятс я ).

Тепе рь по пр об уе м вы ве сти кв а д ра ты 4х4 . Запуска ем пр огр а м му… и ни че го не ви д им .
Как бы ло ска за но вы ш е, чи сл о ва р и анто в пе реб ора для 16 циф р равн яе тс я 16! ил и
20922789888000 ва ри анто в. На мое м ко м пью те ре по л ны й пе реб ор та ко го ко л иче ств а
за нял б ы 1 089 д не й !

Одна ко п о см отр и м н а м аги че ски й к в а д рат е щ е р аз:

Сум мы в се х э л ем енто в п о г о ри зо нта л и и в е рти ка л и р авн ы . И з э то го м ы л егк о м ож ем
за пи са ть р аве нств о е го ч л ено в:
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 1 4 + x 2 4 + x 3 4 + x 4 4
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 1 1 + x 2 1 + x 3 3 + x 4 4
x1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 = x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 + x 3 4

И н а ко не ц , о б щ ая с ум ма: т .к . к в а д рат з а по л не н ч и сл ам и 1 ..1 6, т о е сл и с л ож ить в се 4
стр оки к в а д рата , т о п о л уч а ем 4 S = 1 + ..+ 16 = 1 36, т .е . S =34 ( ч то с о отв е тс тв уе т
пр и ве д енно й в н а ча л е г л авы ф ор м ул е).

Это з н а чи т, ч то м ы л егк о м ож ем в ы ра зи ть п о сл ед ни е э л ем енты ч е рез п р ед ы дущ ие:
x1 4 = S - x 1 1 - x 1 2 - x 1 3
x2 4 = S - x 2 1 - x 2 2 - x 2 3
x3 4 = S - x 3 1 - x 3 2 - x 3 3
x4 1 = S - x 1 1 - x 2 1 - x 3 1
x4 2 = S - x 1 2 - x 2 2 - x 3 2
x4 3 = S - x 1 3 - x 2 3 - x 3 3
x4 4 = S + x 1 4 - x 1 4 - x 2 4 - x 3 4
Что это дает? Оче нь мно го е. Вм есто пе реб ора 16 ва р и анто в сум марны м ко л иче ств о м
16!= 20922789888000 мы дол ж ны пе реб рать лиш ь 9 ва ри анто в, что дает 9!= 3628 80
ва ри анто в, т.е . в 57657 600 раз меньш е! Как не тр уд но дога д ать ся , мы факт и че ски
вы рази л и кр ай ни е стр о ки кв а д ра та че ре з со се д ни е, т.е . ум еньш ил и разм ерно сть
по и ска с 4х4 до 3х3 . Это же пр ави л о буд ет дей ств о ва ть и для кв а д рато в бол ьш ей
диаго на л и.

Обно вл енна я пр огр ам ма вы гл яд ит бол ее гр ом озд ко (в не й та кж е доб авл ены пр ове р ки
на не нул евы е зн а че ни я и пр ове рки на ун и ка л ьн о сть эл ем енто в), за то расч е т
пр ои схо д ит в разы бы стр ее . Здесь та кж е исп о л ьзу е тс я во зм ож но сть раб оты со
мно ж еств а м и в язы ке Pyth on , что легк о по зв о л яе т дел ать пе реб ор нуж ны х циф р в
цикл е:
se t( ra nge(1 ,1 6+ 1)) - м но ж еств о ч и се л [1 ..1 6]
se t( ra nge(1 ,1 6+ 1)) - s e t( [x 1 1 ]) - м но ж еств о ч и се л [1 ..1 6] з а и скл ю че ни ем x 1 1.

Такж е доб авл ена пр оста я пр ове рка на мини м ал ьн о сть сум мы : оче ви д но , что сум ма
все х э л ем енто в н е м ож ет б ы ть м еньш е ч е м 1 6+ 1+ 2+ 3 = 2 2.

dig it s = s e t( ra nge(1 ,1 6+ 1))
cn t = 0
fo r x 1 1 in d ig it s :
fo r x 1 2 in d ig it s - s e t( [x 1 1]) :
fo r x 1 3 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2]) :
fo r x 1 4 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3]) :
s = x 1 1 + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4
if s < 2 2: c o ntin ue
fo r x 2 1 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4]) :
fo r x 2 2 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1]) :
fo r x 2 3 in d ig it s - s e t( [x 1 1 , x 1 2 , x 1 3 , x 1 4 , x 2 1 , x 2 2]) :
x 2 4 = s - x 2 1 - x 2 2 - x 2 3
if x 2 4 < = 0 o r x 2 4 in [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1, x 2 2, x 2 3]: c o ntin ue
fo r x 3 1 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1, x 2 2, x 2 3, x 2 4]) :
fo r x 3 2 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1, x 2 2, x 2 3, x 2 4, x 3 1]) :
fo r x 3 3 in d ig it s - s e t( [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1, x 2 2, x 2 3, x 2 4, x 3 1, x 3 2]) :
x 3 4 = s - x 3 1 - x 3 2 - x 3 3
x 4 1 = s - x 1 1 - x 2 1 - x 3 1
x 4 2 = s - x 1 2 - x 2 2 - x 3 2
x 4 3 = s - x 1 3 - x 2 3 - x 3 3
x 4 4 = s - x 1 4 - x 2 4 - x 3 4
if x 3 4 < = 0 o r x 4 1 < = 0 o r x 4 2 < = 0 o r x 4 3 < = 0 o r x 4 4 < = 0 : c o ntin ue

d ata = [x 1 1, x 1 2, x 1 3, x 1 4, x 2 1, x 2 2, x 2 3, x 2 4, x 3 1, x 3 2, x 3 3, x 3 4, x 4 1, x 4 2, x 4 3, x 4 4]
if le n(d ata ) != le n(s e t( d ata )): c o ntin ue
if is _ m agic (d ata , 4 ):
p rin t d ata

c n t + = 1

prin t c n t

В р езу л ьта те , п р огр ам ма п р ор аб ота л а в се го л иш ь о ко л о ч а са ( в м есто 3 х л ет!) , в се го
бы ло в ы ве д ено 7 040 к в а д рато в р азм ерно сть ю 4 х4 . Р азу м еетс я , б ол ьш инств о и з н и х
явл яю тс я п о во рота м и и л и о тр аж ени ям и д руг д руга , б ы ло д ока за но ч то у н и ка л ьн ы х
кв а д рато в в се го 8 80.

Всп о м ни м маги че ски й кв а д ра т Дю рер а, в ни ж не м его сто л бц е есть циф ры 151 4,
со отв е тс тв ую щ ие го д у со зд ани я гр авю ры . С по м ощ ью пр огр а м мы мож но реш ить ещ е
од ну за д ачу: по см отр еть ско л ько все го во зм ож но кв а д ра то в с та ки м и циф рам и. Здесь
чи сл о ва ри анто в пе реб ора ещ е меньш е, т.к . ещ е 2 циф ры фикс и рова ны . Ока зы ва е тс я ,
по м им о “ а вто рско го ”, в о зм ож ны в се го 3 2 в а ри анта , н а пр и м ер:
1 1 5 1 4 4 2 1 5 1 4 3
5 1 1 8 1 0 5 1 0 7 1 2
12 6 9 7 11 8 9 6
16 2 3 1 3 16 1 4 1 3

Инте ресн о , что ве рхн и й ряд по м им о циф р 15 и 14 мож ет со д ерж ать либ о 1,4 либ о 2,3 ,
други х в а ри анто в н е т. Р азн ы е в а ри анты с о д ерж ат л иш ь п е реста но вки э ти х ц иф р.

Есл и же го во ри ть о кв а д рата х бол ьш ей разм ерно сти , то чи сл о ва ри анто в пе реб ор а
для ни х по л уч а етс я сл иш ко м бол ьш им . Так дл я кв а д ра та 5х5 , даж е есл и вы рази ть
кр ай ни е чл ены че рез со се д ни е, по л уч а е м 4х4 оста ю щ ихся кл ето к, что даст на м те же
са м ы е 16! ва ри анто в пе ре б ора. Разу м еетс я , в реал ьн о сти та ки е кв а д раты не стр ои л и
мето д ом по л но го пе ре б ора, сущ еств уе т мно ж еств о ал го ри тм ов их по стр оени я,
на пр и м ер мето д Франкл ина , Россе ра, Рауз-Б ол ла, жел аю щ ие могу т по и ска ть их
са м осто яте л ьн о . В архи ве с кн и го й пр и л ож ен фай л “0 7 - magic 5 .c p p” для расч е та
кв а д рато в 5 х5 н а С ++, н о а вто ру т а к и н е х в а ти л о т е р пе ни я д ож дать ся р езу л ьта то в.

И на ко не ц , мож но всп о м ни ть та к на зы ва ем ы е “п а нд иаго на л ьн ы е” маги че ски е
кв а д раты . Это кв а д раты , в ко то ры х уч и ты ва ю тс я сум мы та кж е “к о сы х” диаго на л ей ,
ко то ры е по л уч а ю тс я есл и вы реза ть кв а д ра т из бум аги и скл еи ть его в то р . Жел аю щ ие
могу т д об ави ть в п р огр ам му в ы во д т а ки х к в а д рато в с а м осто яте л ьн о .
8. М аги че ски й к в а д рат и з п р осты х ч и се л
Сущ еств уе т е щ е о д на р азн о ви д но сть м аги че ско го к в а д рата - с о ста вл енно го и з
пр осты х ч и се л . П ри м ер т а ко го к в а д рата п о ка за н н а р и сун ке :

29 131 107
167 89 11
71 47 149

При ве д енную вы ш е пр о гр а м му легк о мод иф иц ирова ть дл я та ко го расч е та : доста то чн о
лиш ь за м ени ть мно ж еств о dig it s = se t( ra nge (1 ,1 6 + 1)) на друго е, со д ерж ащ ее пр осты е
чи сл а.

Для п р и м ера б уд ем и ска ть к в а д раты с р е д и т р е хзн а чн ы х п р осты х ч и се л о т 1 01 д о 4 91.
Зам ени м в п р ед ы дущ ей в е р си и п р о гр ам мы с тр о ку d ig it s = s e t( [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ]) н а

prim es = [ 1 01, 1 03, 1 07, 1 0 9, 1 13, 1 27, 1 31, 1 37, 1 39, 1 49, 1 51, 1 57, 1 63,
1 67, 1 73, 1 79, 1 81, 1 9 1, 1 93, 1 97, 1 99, 2 11, 2 23, 2 27, 2 29, 2 33, 2 39, 2 41, 2 51,
2 57, 2 63, 2 69, 2 71, 2 7 7, 2 81, 2 83, 2 93, 3 07, 3 11, 3 13, 3 17, 3 31, 3 37, 3 47, 3 49,
3 53, 3 59, 3 67, 3 73, 3 7 9, 3 83, 3 89, 3 97, 4 01, 4 09, 4 19, 4 21, 4 31, 4 33, 4 39, 4 43,
4 49, 4 57, 4 61, 4 63, 4 6 7, 4 79, 4 87, 4 91 ]
dig it s = s e t( p rim es)

Таки х к в а д рато в н а ш лось 4 0, н а пр и м ер :
233 167 389
419 263 107
137 359 293

Сум ма ч и се л р авн а в п о л не к р аси во м у ч и сл у 7 89.

Т.к . ч и сл о в а ри анто в п е ре б ора б ол ьш е, п р огр ам ма р аб ота е т д ол ьш е. В рем я п о и ска
со ста ви л о 7 24с д ля P yth on-в е рси и и 3 16 c д ля п р огр ам мы н а C ++.
T = 3 16.0 0s = C ++
T = 7 24.4 s = P yth on

Есл и ж е р ассм атр и ва ть м ини м ал ьн о в о зм ож ны й к в а д рат и з п р осты х ч и се л , т о е го
сум ма р авн яе тс я т о ж е в п о л не “ к р аси во м у” ч и сл у 1 11:

7 61 43
73 37 1
31 13 67

При м ером к в а д рата 4 х4 м ож ет б ы ть к в а д рат с т а кж е “ к р а си во й ” с ум мой 2 22:

97 41 73 11
17 47 83 75
59 79 13 71

49 55 53 65
9. Ч исл а Ф иб она ччи
Возь м ем 2 чи сл а: 0 и 1. След ую щ ее чи сл о рассч и та ем ка к сум му пр ед ы дущ их чи се л ,
за те м п о вто ри м п р оц есс.
Мы п о л уч и л и п о сл ед ова те л ьн о сть , и зв е стн ую к а к ч и сл а Ф иб она ччи :
0, 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3, 2 1, 3 4, 5 5, 8 9, 1 44 , 2 33, 3 77, 6 10, 9 87, 1 597, 2 584, 4 181, 6 765, ...

Эта по сл ед ова те л ьн о сть бы ла на зв а на в че сть ита л ья н ско го мате м ати ка 12 ве ка
Лео нар д о Фиб онач чи ​. Фиб она ччи рассм атр и ва л за д ачу роста по пул яц ии кр ол ико в.
Есл и пр ед по л ож ить , что но во р ож денна я па ра кр ол ико в 1 меся ц расте т, че ре з меся ц
на чи на ет сп а ри ва ть ся , и за те м че ре з ка ж ды й меся ц дает по то м ств о , то ко л иче ств о па р
кр ол ико в н е сл ож но п о д сч и та ть :

Как мож но ви д еть , чи сл о па р об разу е т ка к раз те са м ы е чи сл а Фиб она ччи . Сам а
по сл ед ова те л ьн о сть Фиб она ччи ка ж етс я пр осто й . Но че м она инте ресн а ? При м ер с
кр ол ика м и не сл уч а ен - эти чи сл а дей ств и те л ьн о опи сы ва ю т мно ж еств о пр и род ны х
за ко но м ерно сте й :
- Мно ж еств о расте ни й им ею т ко л иче ств о лепе стко в, равн о е од но м у из чи се л
Фиб она ччи . Кол иче ств о листь е в на сте б л е та кж е мож ет опи сы ва ть ся эти м
за ко но м , н а пр и м ер у т ы ся че л истн и ка .
- Друго е изв е стн о е изо б раж ени е - сп и рал ь Фиб она ччи , ко то рая стр о и тс я по
по хо ж ем у п р и нц ипу с о отн о ш ени я р азм еров п р ям оуго л ьн и ко в:

Это изо б раж ени е та кж е ча сто встр еча етс я в пр и ро д е, от рако ви н мол л ю ско в, до
форм ы а тм осф ерно го ц икл она и л и д аж е с п и рал ьн о й г а л акт и ки .
Для пр и м ера доста то чн о взя ть фото гр а ф ию цикл она из ко см оса , и на л ож ить об е
ка рти нки в м есте :

- Есл и взя ть и ра зд ел ить друг на друга 2 лю бы х со се д ни х чл ена
по сл ед ова те л ьн о сти , на пр и м ер 233/3 7 7, по л уч и тс я чи сл о 0,6 18. Случ а й но это ил и
не т, но это чи сл о - то са м ое “з о л ото е се че ни е”, сч и та ю щ ее ся на и б ол ее эсте ти чн о й
пр опо рц ией .

Числ а Ф иб она ччи н е сл ож но в ы ве сти в п р огр ам ме н а я зы ке P yth on:
fr o m d ecim al im port *

def p rin tN um bers (n ):
i1 = D ecim al( 0 )
i2 = D ecim al( 1 )
fo r p in r a nge(1 , n + 1):
p rin t( " F ({ }) = { }" .f o rm at( p , i2 ))
fib = i1 + i2
i1 = i2
i2 = fib

getc o nte xt( ).p re c = 1 00

N = 1 00
prin tN um bers (N )

Инте ресн о з а м ети ть , ч то р асте т п о сл ед ова те л ьн о сть Ф иб она ччи в е сь м а б ы стр о, у ж е
F(3 00) = 2 2223224462942 0445 5297 3989 3461909967206666939096499764990979600.
10. В ы со та з в уко в н о т
Ещ е в д ревн о сти ч е л ове к з а м ети л , ч то н а тя н ута я с тр ун а п о рож дает к о л еб ани я з в ука .
Во в р ем ена П иф аго ра б ы ло з а м ече но , ч то с тр ун ы и зд аю т м ел од ичн ы й з в ук, е сл и и х
длина с о отн о си тс я к а к н е б ол ьш ие ц ел ы е ч и сл а ( 1 :2 , 2 :3 , 3 :4 и т . д .) . З вук о т с тр ун ы
длино й 2 /3 д ает ч и сту ю к в и нту , 3 /4 с тр ун ы д ает к в а рту а п о л ови на с тр ун ы - о кт а ву.

Рассм отр и м с тр ун у с у сл овн о й д лино й = 1 . Б уд ем у м но ж ать д лину с тр ун ы н а 3 /2 , е сл и
по л уч е нно е ч и сл о б ол ьш е 2 , р а зд ел им е щ е н а 2 .
1
3/2 = 1 ,5
1.5 * 3 /2 = 2 .2 5, 2 .2 5/2 = 1 ,1 25 = 9 /8
9/8 * 3 /2 = 1 ,6 875 = 2 7 /1 6

Похо ж ий р яд , е сл и е го у п о ряд очи ть п о в о зр аста ни ю , н а зы ва етс я п и ф аго ровы м с тр оем :
“д о” - 1
“р е” - 9 /8
“м и” - 8 1/6 4
“ф а” - 4 /3
“с о л ь” - 3 /2
“л я” - 2 7/1 6
“с и ” - 2 43/1 28
“д о” - 2
Он та кж е на зы ва етс я кв и нто вы м, т.к . но ты по л уч а л ись ув е л иче ни ем на кв и нту , т.е . на
3/2 . Счи та етс я , что это т стр ой исп о л ьзо ва л ся ещ е пр и на стр ой ке лир в древн е й
Гр ец ии, и со хр ани л ся вп л оть до ср ед ни х ве ко в. Назв а ни я но т разу м еетс я , бы ли други е
- со вр ем енны е на зв а ни я пр и д ум ал то л ько че рез 1000 лет ита л ья н ски й те орети к
музы ки ​Гв ид о д ’А рец ц о ​ в ​1025 г. ​.

Разу м еетс я , в древн е й Гр ец ии ни кт о не зн а л пр о ча сто ту ко л еб ани й зв ука , за то
древн и е гр еки бы ли хо рош им и ге ом етр а м и, и пр об л ем с ум но ж ени ем и дел ени ем у ни х
не бы ло. Совр ем енна я те о ри я ко л еб ани й стр ун ы по яви л ась го ра зд о по зж е, раб оты
Эйл ер а ​и ​Д’А лам бер а ​ б ы ли н а пи са ны в 1 750х г о д ах.

Как мате м ати че ски опр ед ел яю тс я ча сто ты зв уко в но т? Сей ча с мы зн а е м , что окт а ва
(о т “д о” до “д о” сл ед ую щ ей окт а вы ) - это ум но ж ени е ча сто ты на 2 (и л и уко роче ни е
стр ун ы в 2 раза ). Для оста л ьн ы х но т с 18 ве ка исп о л ьзу е тс я та к на зы ва ем ы й “х о р ош о
те м пе ри рова нны й стр о й ”: окт а ва дел итс я на 12 равн ы х пр ом еж утко в, а
по сл ед ова те л ьн о сть ч а сто т о б разу е т г е ом етр и че ску ю п р огр есси ю .

Для од но й окт а вы по л уч а ю тс я сл ед ую щ ие ко эф ф иц иенты : 1,0 59 4, 1,1 224 , 1,1 89 2, …,
2. Н а к л ави ату р е о ни о то б раж аю тс я в се м и зв е стн ы м о б разо м , о б разу я 1 2 п о л уто но в:

Таки м о б разо м , е сл и з н а ть ч а сто ту л ю бой н о ты , в се о ста л ьн ы е л егк о р ассч и ты ва ю тс я
по в ы ш епр и ве д енно й ф орм ул е.

Оче ви д но , ч то “ б азо ва я” ч а сто та м ож ет б ы ть л ю бой . Т рад иц ионно п р и нято н а пр и м ер,
что ч а сто та к а м ерто на н о ты “ Л я” 4 4 0Гц . О ста л ьн ы е н о ты п е рво й о кт а вы :

ДО 261.6 ДО # 277
РЕ 293.7 РЕ# 311
МИ 329.6
ФА 349.2 ФА# 370
СО ЛЬ 392 СО ЛЬ# 415
ЛЯ 440 ЛЯ # 466
СИ 494

Инте ресн о за м ети ть , что кв и нта в это й си сте м е им еет со отн о ш ени е ча сто т 2 ​7/1 2 ​= 1.4 9,
что чуть -ч уть отл ича етс я от “п и ф аго р ей ско го ” чи сто го то на с со отн о ш ени ем 1.5 . На
сл ух “с о вр ем енна я кв и нта ” им еет не б ол ьш ие биени я 0,5 Гц , со отв е тс тв ую щ ие разн о сти
ча сто т 392 - 392.4 . До си х по р есть лю бите л и исп о л не ни я ста ри нно й музы ки в
кв и нто -т е рц ево м стр ое, на зы ва ем ы м “ч и сты м”. В 18м же ве ке деб аты меж ду
пр и ве рж енц ам и “с та ро го ” и “н о во го ” стр оя бы ли дово л ьн о -т а ки остр ы ми. Впр оче м ,
пр еи м ущ еств а равн о м ерно те м пе р и рова нно го стр о я в ви д е че тко го со отн о ш ени я
меж ду ча сто та м и но т и во зм ож но сти тр а нсп о ни ро ва ни я музы ки в лю бую другу ю
то на л ьн о сть “б ез по те ри ка че ств а ” ока за л ись ре ш аю щ им и. Сей ча с “ч и сты й стр о й ”
им еет лиш ь исто ри че ско е зн а че ни е, и исп о л ьзу е тс я лиш ь ино гд а для исп о л не ни я
ста ри нны х п р ои зв е д ени й .

И тр ад иц ионно , пр огр ам ма на язы ке Pyth on , вы во д ящ ая ча сто ты по л уто но в в об е
сто роны о т н о ты “ Л я”:
im port m ath

fr e qLa = 4 40
fo r p in r a nge(-3 2,3 2 ):
fr e q = fr e qLa*m ath .p ow (2 , p /1 2.0 )
p rin t p ,fr e q

11. В ращ ени е п л ане т
Ещ е в древн е й Гр ец ии уч е ны е зн а л и, что пл ане ты дви ж утс я по не б у, но ка ки м
об разо м ? Сотн и лет го сп о д ств о ва л а ге оц ентр и че ска я си сте м а мира - в центр е бы ла
Зем ля, во кр уг ко то рой по окр уж но стя м дви га л ись Лун а , пл ане ты (н а то вр ем я их бы ло
изв е стн о 5 ) и С ол нц е:


Така я си сте м а ка за л ась вп о л не логи чн о й и инту и ти вн о по нятн о й (д аж е се й ча с лю ди
го во рят что со л нц е “в схо д ит” и “з а хо д ит”), од на ко не об ъ ясн ял а астр оно м ам по че м у
пл ане ты д ви ж утс я п о н е б у н е равн о м ерно , и в р ем ена м и д аж е в о б ратн ую с то рону.
Вот та к, к пр и м еру, вы гл яд ит пе рем ещ ени е по не б у пл ане ты Мар с, что ни ка к не
укл ад ы ва етс я в т е ори ю д ви ж ени я п о к р угу :

Впр оче м ге оц ентр и че ска я си сте м а пр осущ еств о ва л а бол ее 1500 лет, то л ько в 16м
ве ке Копе рни к изд ал св о й тр уд «О вр ащ ени ях не б есн ы х сф ер», гд е опи сы ва л
вр ащ ени е пл ане т по кр уго вы м орб ита м во кр уг Сол нц а. Одна ко пр об л ем ой бы ло то , что
и п р и э то й с хе м е ф акт и че ски е д ви ж ени я п л ане т н е с о вп а д ал и с р асч е тн ы ми.

Объ ясн и ть это не мог ни кт о , по ка в 1600 го д у не м ец ки й мате м ати к Иога нн Кепл ер не
ста л изу ч а ть мно го л етн и е резу л ьта ты на б л ю дени й, сд ел анны е астр оно м ом Тихо
Браге . Кепл ер бы л ве л ико л епн ы м мате м ати ко м , но и у не го уш ло не ско л ько лет что б ы
по нять с уть и в ы ве сти з а ко ны , к о то р ы е и с е й ча с н а зы ва ю тс я з а ко на м и К епл ера.

Как о ка за л ось , д ви ж ени е п л ане т п о д чи няе тс я 3 м м ате м ати че ски м з а ко на м :
1) Плане ты дви ж утс я по эл липти че ски м ор б ита м , в од но м из фоку со в эл липса
на хо д итс я С ол нц е

2) Плане ты дви ж утс я не равн о м ерно : ско рость пл ане ты ув е л ичи ва етс я пр и дви ж ени и
к Сол нц у и ум еньш аетс я в об ра тн о м на пр авл ени и. Но за равн ы е пр ом еж утки
вр ем ени ве кт о р дви ж ени я опи сы ва ет равн ы е пл ощ ад и: пл ощ ад и уч а стко в “А ”
од ина ко вы :

3) Ква д раты п е ри од ов о б ращ ени й п л ане ты п р опо рц иона л ьн ы к у б у р ассто ян и й д о
орб иты :


Кепл ер сч и та л , что ве сь мир по д чи няе тс я га рм они и, и что со л не чн а я си сте м а бол ьш е
по хо ж а на ча со во й меха ни зм , че м на бож еств е нн о е тв о рени е. Най д енны е им за ко ны
не то л ько кр аси вы и га р м они чн ы , но и со вп а л и с реал ьн ы ми на б л ю дени ям и (у ж е по зж е
вы ясн и л ось , что за ко ны Кепл ер а могу т бы ть вы ве д ены из за ко но в Нью то на и за ко на
все м ирно го т я го те ни я, ж ел аю щ ие м огу т н а й ти д ока за те л ьств а в В ики пе д ии).

Что ка са етс я Марса , то его орб ита бол ее вы тя н ута я, че м орб ита Зем ли, че м и
об ъ ясн яе тс я разн и ц а ка к в ско р ости дви ж ени я, та к и в яр ко сти пл ане ты . Карти нка с
са й та ж ур на л а “ Н аука и ж изн ь”:

Кста ти , эта ка рти нка хо р ош о об ъ ясн яе т, по че м у то л ько не ко то р ы е го д ы бл аго пр и ятн ы
для за пуска ко см иче ски х ко р аб л ей к Марсу - те го д ы , в ко то р ы е рассто ян и е меж ду
пл ане та м и м ини м ал ьн о .
12. П арад окс ы т е ори и в е роятн о сти
На инту и ти вн о м ур овн е по ни м ани е те о ри и ве роятн о сти дово л ьн о -т а ки пр осто .
Возь м ем ку б ик с 6 гр аням и, по д броси м и по см отр и м ка ка я гр ань вы па л а. Инту и ти вн о
ясн о , что ве роятн о сть вы па д ени я 1 гр ани из 6 буд ет 1/6 . Дей ств и те л ьн о , ве роятн о сть ю
на зы ва ю т отн о ш ени е чи сл а ра вн о ве р оятн ы х со б ы ти й к чи сл у все х во зм ож ны х
ва ри анто в:

Како ва ве роятн о сть что вы па д ут 2 циф ры по д ряд ? Она равн а пр ои зв е д ени ю
ве роятн о сте й : ( 1 /6 )* (1 /6 ) = 1 /3 6 .
Врод е все пр осто , од на ко не см отр я на пр осто ту , есть дово л ьн о -т а ки мно го за д ач, гд е
мате м ати ка не все гд а со вп а д ает с бы то вы м “з д ра вы м см ы сл ом ”. Рассм отр и м
не ско л ько т а ки х п а рад окс о в.

Дети м исте р а С м ита

Эту за д ачу опи сы ва л Марти н Га рд не р. Изв е стн о что у мисте ра Смита дво е дете й , и
од ин из ни х мал ьчи к. Како ва ве р оятн о сть , что вто рой из ни х то ж е мал ьч и к?
Инту и ти вн о ка ж етс я , что ве роятн о сть по л а ре б енка все гд а равн а 1/2 , но не все та к
пр осто .
Рассм отр и м в о зм ож ны е в а ри анты с е м ей с д вум я д еть м и:
- мал ьчи к-м ал ьчи к
- мал ьчи к-д ево чка
- дево чка -м ал ьчи к
- дево чка -д ево чка

Исхо д я и з с п и ска в а ри анто в, о тв е т п о няте н. В ар и ант “ д ево чка -д ево чка ” п о у сл ови ю н е
по д хо д ит. В се го о ста етс я 3 в а ри анта с е м ей г д е е сть м ал ьчи к ( М +М , М +Д , Д +М ), з н а чи т
ве роятн о сть ч то в то рой р еб ено к о ка ж етс я м ал ьчи ко м , р авн а 1 /3 .

Бросан и е к у б ика

Верне м ся к броса ни ю ку б ика . Допусти м , мы броси л и ку б ик 5 раз, и все разы вы па л а
циф ра “3 ”. Како ва ве ро ятн о сть , что мы броси м ку б ик ещ е раз, и вы па д ет сн о ва циф ра
“3 ”?
Отв е т пр ост. Инту и ти вн о ка ж етс я , что ве роятн о сть та ко го со б ы ти я оче нь мал а. Но в
реал ьн о сти ку б ик не им ее т ка ко й -л иб о встр о енно й “п а м яти ” на пр ед ы дущ ие со б ы ти я.
Каки е бы чи сл а не вы па д ал и до те ку щ его мом ента , ве роятн о сть но во го чи сл а та кж е
равн а 1/6 (а во т есл и го во ри ть о ве роятн о сти вы па д ени я та ко й се ри и “в цел ом ”, то она
дей ств и те л ьн о р авн а 1 /( 6 *6 *6 *6 *6 *6 ) = 1 /4 6656.

Кста ти , та ка я ве роятн о сть это мно го ил и мал о? Инту и ти вн о ка ж етс я что мал о, и в
пр и нц ипе оно та к и есть . Одно м у че л ове ку пр и ш лось бы броса ть ку б ик ка ж ды е 10
се ку н д 4 дня, что б ы дож дать ся вы па д ени я 6 циф р по д ряд . Одна ко есл и рассм атр и ва ть
бол ьш ие чи сл а, то та ки е ве роятн о сти ста но вя тс я не ож ид анно бол ьш им и. Напр и м ер,
есл и 6 раз ку б ик брося т все 5 мил лионо в жите л ей Пете рб ур га , то 6 циф р по д ряд
вы па д ут пр и м ерно у 10 0 че л ове к - дово л ьн о -т а ки зн а чи те л ьн о е ко л иче ств о . Это на
са м ом дел е ва ж ны й мом ент: даж е дово л ьн о -т а ки мал ове роятн ы е со б ы ти я
га ранти рова нно пр ои зо й д ут, есл и речь ид ет о бол ьш ом чи сл е по пы то к. Это ва ж но пр и
пр огн о зи рова ни и та ки х со б ы ти й ка к ДТП , ава ри и, ка та стр оф ы, и пр очи е не га ти вн ы е
явл ени я, ко то ры е в бол ьш ом го род е ув ы , не ре д ко сть . По это й же пр и чи не ред ки е
за б ол ева ни я эф фект и вн е е лечи ть в бол ьш ом го род е - ред ка я бол езн ь,
встр еча ю щ аяся 1 раз на 10 0000 че л ове к, мож ет пр акт и че ски не встр еча ть ся в
не б ол ьш ом го род е и у вр аче й не буд ет опы та борьб ы с не й , а в мега по л исе та ки х
бол ьн ы х н а б еретс я в н е ско л ько р а з б ол ьш е.

Пар ад окс М онти Х ол ла

Это т и зв е стн ы й п а рад окс х о рош о о пи са н в В ики пе д ии.
Пред ста вьте , что вы ста л и уч а стн и ко м игр ы , в ко то рой ва м нуж но вы брать од ну из
тр ёх две рей . За од но й из две ре й на хо д итс я авто м об ил ь, за двум я други м и две рям и —
ко зы . Вы вы бираете од ну из две ре й , на пр и м ер , но м ер 1, по сл е это го ве д ущ ий,
ко то ры й зн а ет, гд е на хо д итс я авто м об ил ь, откр ы ва ет од ну из оста вш ихся две р ей , за
ко то рой на хо д итс я ко за . Посл е это го он сп р аш ива ет ва с, не жел аете ли вы изм ени ть
св о й вы бор. Уве л ича тс я ли ва ш и шансы вы игр ать авто м об ил ь, есл и вы пр и м ете
пр ед лож ени е в е д ущ его и и зм ени те с в о й в ы бор?

Инту и ти вн о ка ж етс я , что есл и авто м об ил ь сп р ята н за од но й из две р ей , то ве ро ятн о сть
его н а й ти р авн а 1 /3 , и с м ена д ве ри н и че го н е д аст. О дна ко э то н е ве рно .

При нц ип пр ост: есл и игр ок изн а ча л ьн о пр ави л ьн о ука за л две рь с авто м об ил ем (а
ве роятн о сть это го дей ств и те л ьн о ⅓), то за м ена две ри пр и ве д ет его к пр ои гр ы ш у.

Одна ко в об еи х други х сл уч а ях изн а ча л ьн о го вы бора ​нев ер но й ​две ри (а ве роятн о сть
это го ⅔) см ена две ри пр и ве д ет к вы игр ы ш у. Таки м об ра зо м , см ена две р и пр и ве д ет к
вы игр ы ш у с в е роятн о сть ю ⅔ в м есто ⅓ .

Пар ад окс д ней р ож ден и й

Допусти м , в орга ни за ц ии раб ота ет 24 че л ове ка . Како ва ве р оятн о сть что хо тя бы дво е
отм еча ю т день рож дени я в од ин и то т же день? Инту и ти вн о ка ж етс я , что эта
ве роятн о сть ве сь м а мал а и буд ет ра вн а 24 /3 65, но и в это м сл уч а е инту и ц ия
ош иб аетс я . В реал ьн о сти , мы дол ж ны рассм атр и ва ть ​ко л иче ст во па р ​, ко то ры е могу т
об разо ва ть данны е лю ди. Это чи сл о дово л ьн о -т а ки ве л ико , на пр и м ер , есл и
об озн а чи ть 5 че л ове к ка к ABC DE, то ко л иче ств о во зм ож ны х па р буд ет 10 (A B, AC , AD ,
AE, B C , B D , B E, C D, C E, D E), а д л я г р уп пы и з 2 4 ч е л ове к в о зм ож но 2 76 п а р.

Для т о чн о го р асч е та в о сп о л ьзу е м ся п р и нц ипо м п р ои зв е д ени я в е роятн о сте й .
Вероятн о сть т о го , ч то д ля 2 х л ю дей д ень р ож дени я ​не ​со вп а д ет, р авн а 3 64/3 65 . Д ля 3 х
че л ове к в е роятн о сть ч то в се д ни н е с о вп а д ут, р авн а п р ои зв е д ени ю 3 64/3 65 * 3 63/3 65,
и т а к д ал ее. Д ля n -ч е л ове к ф ор м ул а п р и ве д ена в В ики пе д ии:

(n ! - о б озн а че ни е ф акт о р и ал а, n ! = 1 *2 *..* (n -1 )* n )

Нуж на я н а м в е роятн о сть о б ратн о го с о б ы ти я р авн а о б ратн о й в е л ичи не :


Вы ве сти в се з н а че ни я н е сл ож но с п о м ощ ью п р огр ам мы н а P yth on:
im port m ath

def C (n ):
r e tu rn 1 000 - 1 000*m ath .f a cto ria l( 3 65)/( m ath .fa cto ria l( 3 65-n )* 3 65**n )

fo r n in r a nge(3 ,5 0):
p rin t( " {} - { }% ").fo rm at( n , 0 .1 *C (n ))

365! это оче нь бол ьш ое чи сл о, по это м у зд есь исп о л ьзо ва ны цел очи сл енны е
вы чи сл ени я я зы ка P yth o n, у ж е з а те м з н а че ни е б ы ло п е реве д ено в п р оц енты .

В р езу л ьта те п о л уч а ем с л ед ую щ ую т а б л иц у:
3 0.0 082 4 0.0 163 5 0.0 271
6 0.0 404 7 0.0 562 8 0.0 743
9 0.0 946 10 0.1 169 11 0.1 411
12 0.1 670 13 0.1 944 14 0.2 231
15 0.2 529 16 0.2 836 17 0.3 150
18 0.3 469 19 0.3 791 20 0.4 114
21 0.4 436 22 0.4 756 23 0.5 072

24 0.5 383 25 0.5 686 26 0.5 982
27 0.6 268 28 0.6 544 29 0.6 809
30 0.7 063 31 0.7 304 32 0.7 533
33 0.7 749 34 0.7 953 35 0.8 143
36 0.8 321 37 0.8 487 38 0.8 640
39 0.8 782 40 0.8 912 41 0.9 031
42 0.9 140 43 0.9 239 44 0.9 328
45 0.9 409 46 0.9 482 47 0.9 547
48 0.9 605 49 0.9 657 50 0.9 703

Как в и д но и з т а б л иц ы , у ж е п р и к о л иче ств е с о тр уд ни ко в 5 0 ч е л ове к, х о тя б ы 1 д ень
рож дени я п о чти г а ранти ро ва нно с о вп а д ет ( в е р оятн о сть 9 7% ), а д ля 2 4 ч е л ове к
по л уч а ем в е роятн о сть р а вн ую 0 .5 38 , т .е . б ол ее 5 0% .
13. П ове рхн о сть Л ун ы
Посм отр и м на фото гр а ф ию по ве рхн о сти Лун ы . Эта фото гр аф ия бы ла сд ел ана в
те л еско п с б ал ко на :

Что м ы в и д им ? О че ви д но , л ун ную п о ве рхн о сть , п о кр ы ту ю к р ате р ам и, о ста вш им ися о т
пр ед ы дущ их с то л кн о ве ни й м ете ори то в с Л ун о й .

Каза л ось бы , пр и че м зд есь мате м ати ка ? При то м , что сто л кн о ве ни е с мете ори то м -
сл уч а й но е со б ы ти е, его ча сто та по д чи няе тс я те о ри и ве ро ятн о сти . На Лун е не т
атм осф еры , не т эр ози и и ве тр а, по это м у лун на я по ве рхн о сть - ид еал ьн а я “к н и га ”, в

ко то рой за пи са ны со б ы ти я по сл ед ни х деся тко в ты ся ч лет. Изу ч а я по ве рхн о сть Лун ы ,
мож но п о д сч и та ть к а ко го р а зм ера о б ъ ект ы п а д ал и н а е е п о ве рхн о сть .

Иссл ед ова ни е по ве рхн о сти Лун ы ка м ерам и вы со ко го ра зр е ш ени я ве д етс я и се й ча с.
Бы ло по д сч и та но , что за по сл ед ни е 7 лет на Лун е об разо ва л ись не мене е 220 но вы х
кр ате ров. Это ва ж но ещ е и по то м у, что данн ы е по д сч е ты по м огу т оц ени ть опа сн о сть
для З ем ли.

Есть ли кр ате ры на Зем ле? Разу м еетс я есть . Данн а я фото гр аф ия сд ел ана во все не на
Лун е и л и н а М арсе , а в С Ш А:

Так на зы ва ем ы й Ари зо нски й кр ате р во зн и к око л о 50ты с лет на за д по сл е па д ени я
мете ори та диам етр ом 50 метр ом и ве со м 300 ты ся ч то нн. Диам етр кр ате ра со ста вл яе т
бол ее ки л ом етр а. В Сиб ири на хо д итс я кр ате р Попи га й разм ером 100км , он бы л откр ы т
в 1 946 г о д у.

Разу м еетс я , та ки е бол ьш ие кр а те р ы дово л ьн о -т а ки ред ки . Посл ед не е же па д ени е
кр уп н о го мете ори та бы ло по исто ри че ски м мерка м ве сь м а не д авн о , все го лиш ь око л о
100 лет на за д . В 190 8г в ту н гу сско й та й ге уп а л мете ори т, мощ но сть взр ы ва
оц ени ва л ась от 10 до 50 мега то нн . По отз ы ва м , взр ы вн а я во л на об огн ул а зе м но й шар,
а св е то вы е явл ени я в атм осф ере бы ли сто л ь си л ьн ы , что в Лонд оне но чь ю мож но
бы ло чи та ть га зе ту . Лиш ь по сл уч а й но сти па д ени е мете ори та пр и ш лось на
мал она се л енны е рай оны Сиб ири - есл и бы уд ар бы л чуть раньш е ил и по зж е, та ко й
мощ но сти хв а ти л о бы , что б ы по л но сть ю ун и что ж ить го ро д разм ером с
Санкт -П ете рб ур г. Совсе м же не д авн о , в 2013 го д у, мете ор и т разм ером око л о 20
метр ов разр уш ил ся в атм осф ере , а его мно го чи сл енны е об л ом ки уп а л и в рай оне
Чел яб инска . Постр ад ал о пр и м ерно 1500 че л ове к, в осн о вн о м от вы биты х уд арно й
во л но й с те ко л . П о о ц енка м N AS A с ум мар на я м ощ но сть с о ста ви л а д о 4 00 к и л ото нн.

Увы , то , что для опр ед ел енно го рай она Зем ли мож ет бы ть ка та стр оф ой , для ко см оса
со ве рш енно за ур яд ны й мом ент. Это лиш ь во пр ос вр е м ени , доста то чн о по см отр еть на
по ве рхн о сть Лун ы . По од но й из ги по те з, 66 мил л ионо в лет на за д на ш а пл ане та
сто л кн ул ась с бол ьш им асте рои д ом , в ре зу л ьта те че го бы ло ун и что ж ено 75% ви д ов
живы х сущ еств , в то м чи сл е и дино за вр ы . Поэто м у за д ача на б л ю дени я и
пр огн о зи рова ни я асте р ои д но й опа сн о сти дол ж на бы ть в об яза те л ьн о м сп и ске дел для
че л ове че ств а , е сл и м ы н е х о ти м п о вто ри ть и х с уд ьб у.
14. Т ак л и с л уч а й ны с л уч а й ны е ч и сл а?
В ка ж дом язы ке пр огр ам мирова ни я сущ еств уе т фун кц ия ге не ра ц ии сл уч а й ны х чи се л .
Они исп о л ьзу ю тс я в разл ичн ы х об л астя х, от игр до кр и пто гр аф ии ил и ге не рац ии
па рол ей .

На я зы ке P yth on в ы ве сти с л уч а й но е ч и сл о м ож но т а к:
im port r a ndom
prin t( ra ndom .r a ndin t( 0 ,9 ))

Но ка к это раб ота ет? Зад ача вы во д а дей ств и те л ьн о ​сл уч а йно го ​чи сл а дал еко не та к
пр оста ка к ка ж етс я . Что б ы вы ве сти что -т о на ко м пью те ре , это что -т о на д о сн а ча л а
за пр огр ам мирова ть . Но оче ви д но , что за д ать форм ул ой сл уч а й ны й, ха оти че ски й
пр оц есс, не во зм ож но - по опр ед ел ени ю форм ул а и ха ос пр оти во реча т друг другу .
Именно по это м у чи сл а на са м ом дел е явл яю тс я псе вд осл уч а й ны ми - они лиш ь по хо ж и
на с л уч а й ны е, а в р еал ьн о сти я вл яю тс я р езу л ьта то м в п о л не к о нкр етн о го а л го ри тм а.

Одни м и з н а и б ол ее п о пул яр ны х и п р о сты х а л го ри тм ов, я вл яе тс я л ине й ны й
ко нгр уэ н тн ы й м ето д ( lin e ar c o n gru entia l g enera to r). Е го ф орм ул а п р оста :


Рассм отр и м п р и м ер р еал иза ц ии н а я зы ке P yth on:
x = 1 23456789

m = 2 **3 1 - 1
fo r p in r a nge(1 0):
x = ( 1 103515245*x + 1 2345) % m
p rin t( x )

Прогр ам ма дей ств и те л ьн о вы во д ит чи сл а, ко то ры е вп о л не по хо ж и на сл уч а й ны е:
295234770, 465300796, 1475 6661 58, 5884 5400 8, 9298 3827 7, 502 98429 , 1089 988 954,
698778454, 2010473888, 3612 5306 . Как не тр уд но дога д ать ся , пр и по вто р но м за пуске
пр огр ам мы чи сл а буд ут од ни и те же. Что б ы чи сл а не по вто рял ись , та ко й ге не рато р
об ы чн о и ни ц иал изи рую т з н а че ни ем т е ку щ его с и сте м но го в р ем ени .

Увы , та ко й ге не рато р им еет опр ед ел енн ы е не д оста тки : во -п е р вы х, его
по сл ед ова те л ьн о сть ра но ил и по зд но на чи на ет по вто р ять ся , во -в то ры х, он не

явл яе тс я кр и пто сто й ки м - зн а я те ку щ ее зн а че ни е, мож но вы чи сл ить сл ед ую щ ее , что к
пр и м еру, мож ет по зв о л ить зл оум ы ш ленн и ку узн а ть “с л уч а й но ” сге не ри ро ва нны й
па рол ь п о е го п е рвы м б укв а м .

Сущ еств ую т други е ал го ри тм ы ге не рац ии псе вд осл уч а й ны х чи се л , на пр и м ер на
осн о ве пр осты х чи се л Мерсе нна (M ers e nn e Tw is te r gene ra to r). Сущ еств ую т та кж е
аппа ратн ы е ге не рато ры сл уч а й ны х чи се л , на пр и м ер та ка я фун кц ия пр и сутс тв уе т в
пр оц ессо рах In te l. Есть даж е са й т ​http s:/ /w ww .r a nd om .o rg ​, с по м ощ ью ко то рого мож но
сге не ри рова ть сл уч а й ную по сл ед ова те л ьн о сть чи се л . По за ве р ени ям авто ров, они
исп о л ьзу ю т 3 р ад иопр и ем ни ка , н а стр ое нны х н а ч а сто ту ш ум а а тм осф ерны х п о м ех.

Разу м еетс я , в бол ьш инств е об ы чн ы х пр огр а м м, на пр и м ер пр и на пи са ни и
ко м пью те рно й игр ы , “к а че ств о м ” сл уч а й ны х чи се л мож но пр ене б речь, встр о енн ы е
ал го ри тм ы вп о л не не пл охи . Но пр и ра зр аб отке сп е ц иал изи рова нно го ПО , гд е во пр ос
кр и пто сто й ко сти им еет зн а че ни е, сто и т уж е об рати ть вн и м ани е на то , на ско л ько
на д еж ен п р и м еняе м ы й а л го ри тм .
15. Р асп р ед ел ени е с л уч а й ны х в е л ичи н
С т е ори ей в е роятн о сти с в я за н е щ е о д ин и нте р есн ы й м ом ент - з а ко ны р асп р ед ел ени я
сл уч а й ны х в е л ичи н. О гр ом но е к о л иче ств о п р оц ессо в в р еал ьн о сти п о д чи няю тс я в се го
лиш ь н е ско л ьки м з а ко на м р а сп р ед ел ени я.

Рав но м ер но е р асп р ед ел ен и е

Возь м ем игр ал ьн ы й ку б ик и броси м его мно го раз. Оче ви д но , что ве ро ятн о сть
вы па д ени я к а ж дого ч и сл а о д ина ко ва . Н а г р аф ике э то м ож но и зо б рази ть п р и м ерно т а к:

Други м пр и м ером мож ет бы ть вр е м я ож ид ани я авто б уса . Есл и че л ове к пр и ш ел на
оста но вку в сл уч а й но е вр ем я, то пе ри од ож ид ани я мож ет бы ть лю бы м, от нул я до
макс и м ум а и нте рва л а д ви ж ени я.

Норм ал ьно е р асп р ед ел ен и е

Возь м ем гр уп пу лю дей , на пр и м ер в 100 че л ове к, и изм ери м их рост. Оче ви д но , что
буд ет не ко то рое ко л иче ств о лю дей не б ол ьш ого ро ста , не ко то рое ко л иче ств о вы со ки х
лю дей , со все м мал о оче нь вы со ки х, и со все м мал о оче нь ни зки х. Тако е

расп р ед ел ени е есте ств е нно для мно ги х об ъ ект о в, не то л ько лю дей , по то м у оно и
на зы ва етс я ​но рм ал ьн ы м ​.

Форм ул а н о рм ал ьн о го р а сп р ед ел ени я с о вп а д ает с ф орм ул ой Г а усса :

Под бирая к о эф фиц иенты , м ож но п о л уч и ть р азн ы е в и д ы р асп р ед ел ени я.


Каса ем о р оста л ю дей , с о гл асн о с а й ту h ttp ://ta ll. lif e , г р аф ик р оста д ля м уж чи н и ж енщ ин
им еет с л ед ую щ ий в и д :


Расп р ед ел ен и е П уассо на

След ую щ ий ви д расп р ед ел ени я не мене е инте ре се н. Рассм отр и м со б ы ти я,
пр ои схо д ящ ие с не ко то рой изв е стн о й инте нси вн о сть ю не за ви си м о друг от друга ,
на пр и м ер пр и хо д по ку п а те л ей в мага зи н. Допусти м , в мага зи н пр и хо д ит в ср ед не м 10
по ку п а те л ей в минуту . Како ва ве роятн о сть , что в ка ко й -т о мом ент вр ем ени в мага зи н
пр и д ет 2 0 п о ку п а те л ей ?

Вероятн о сть т а ки х с о б ы ти й о пи сы ва етс я р асп р ед ел ени ем П уа ссо на :

Гр аф ик р асп р ед ел ени я и м еет п р и м ерно т а ко й в и д ( в н а ш ем п р и м ере ​λ= 10) ​:

Эти м же расп р ед ел ени ем опи сы ва ю тс я разл ичн ы е сл уч а и , от ве роятн о сти
не и сп р авн о сте й (е сл и 0.0 1% те л еви зо р ов им ею т не и сп р авн о сть , ка ко ва ве роятн о сть
что в па рти и из 20 шту к ока ж етс я 2 не и сп р авн ы х те л еви зо ра), до ско ро сти роста
ко л они й в ч а ш ке П етр и .

Верне м ся к на ш ем у пр и м еру с 20 по ку п а те л ям и. В инте рне те мож но на й ти та б л иц ы
зн а че ни й Пуа ссо на для ​λ= 10 ​ . По ни м мож но на й ти , что ве роятн о сть пр и хо д а ср азу 20
че л ове к с о ста вл яе т 0 ,1 9 % .
16. И зм ерени е с ко рости с в е та
С бы то во й то чки зр ени я, ско р ость св е та пр акт и че ски мгн о ве нна . Дей ств и те л ьн о , св е т
за се ку н д у мож ет об огн уть Зем лю 8 раз, а за 2 се ку н д ы пр ол ета ет рассто ян и е от
Зем ли до Лун ы . Поэто м у до 17 ве ка пр о реал ьн ую ско р ость св е та ни кт о не зн а л . Как
же е е в ы чи сл ил и?

Сего д ня опы т по изм ерени ю ско рости св е та мож но пр ове сти даж е в шко л е -
доста то чн о длинно го ку ска ка б ел я, ге не рато ра им пул ьсо в и осц ил логр аф а.
Дей ств и те л ьн о , за д ерж ка си гн а л а в ку ске ка б ел я длино й 50м , буд ет равн а
50/3 00000000, ил и 0.0 16 м кс - ве л ичи на ко то рую по ка ж ет даж е деш евы й осц ил логр аф с
макс и м ал ьн о й ча сто то й 10 -2 0 М Гц . Но ка к же это сд ел ал и в 17 ве ке , ко гд а не бы ло не

то что осц ил логр аф ов, даж е до по явл ени я лам пы на ка л ива ни я бы ло ещ е 200 лет
ож ид ани я? П ом огл и а стр оно м ия, г е ом етр и я, и р азу м еетс я , м ате м ати ка .

Го во ря то чн е е, по м огл о на б л ю дени е Юпи те ра и его сп утн и ко в. Спутн и ки Юпи те ра
бы ли откр ы ты ещ е Га л ил еем , ув и д еть их мож ет ка ж ды й, даж е с бал ко на в не б ол ьш ой
те л еско п. С у в е л иче ни ем о ко л о 3 00х о ни в и д ны п р и м ерно т а к:


Пери од вр ащ ени я сп утн и ко в Юпи те ра не ве л ик, и со ста вл яе т пр и м ерно 2 дня. Уж е в
17м ве ке изм ерени е вр е м ени бы ло доста то чн о то чн ы м (м аятн и ко вы е ча сы изо б рел
го л ланд ски й физи к и мате м ати к Гю йге нс в 1657 г), что б ы датс ки й астр оно м Олаф
Рем ер в 1676 го д у об на руж ил ра схо ж дени е расч е тн о го и реал ьн о го по л ож ени я
сп утн и ка пр и м ерно в 16 минут (в е л ичи на , ко то рую тр уд но не за м ети ть даж е пр и
те хн о л оги ях 1 7 в е ка ).

Для изм ерени я орб ит сп утн и ко в Юпи те ра Рем ер исп о л ьзо ва л мом ент, ко гд а сп утн и к
вхо д ит в те нь Юпи те ра - мом ент, ко то ры й мож но изм ери ть дово л ьн о -т а ки то чн о . Как
дога д ал ся Рем ер, за па зд ы ва ни е во вр е м ени бы ло св я за но с дви ж ени ем Зем ли по
орб ите .
Карти нка с с а й та h ttp ://w w w.s p ee d-lig ht.in fo :

В мом ент вто рого изм ер ени я ра ссто ян и е до Юпи те р а бол ьш е пр и м ерно на диам етр
орб иты Зем ли (п е ри од об ращ ени я Юпи те ра во кр уг Сол нц а - 12 лет, что го р азд о
бол ьш е зе м но го ). Это и пр и во д ил о к то м у, что св е т от Юпи те ра пр и хо д ил с бол ьш им
за па зд ы ва ни ем , че м пр и пе рво м изм ерени и. Сдел ав по д сч е ты , Рем ер по л уч и л
зн а че ни е ско рости св е та в 2200 00км /c . В то вр ем я ко не чн о сть ско рости св е та ка за л ась
на сто л ько не ве роятн о й , что по сл е пуб л ика ц ии во франц узс ко й ака д ем ии на ук дал еко

не все по ве ри л и мол од ом у уч е но м у. Разу м ее тс я , по сл ед ую щ ие изм ер ени я
по д тв е рд ил и п р ави л ьн о сть м ето д а.

Бол ее то чн о е зн а че ни е бы ло по л уч е но лиш ь че ре з 200 лет, франц узс ки й физи к Луи
Физо с по м ощ ью зу б ча то го ко л еса и двух зе рка л по л уч и л зн а че ни е в 3120 00км /c .
Рассто ян и е меж ду зе рка л ам и бы ло 8,6 км , од но зе рка л о бы ло расп о л ож ено в дом е
отц а Физо не д ал еко от Пар и ж а, вто рое зе рка л о бы ло расп о л ож ено на Монм артр е.
Физо на ш ел та ку ю ско ро сть вр ащ ени я ко л еса , пр и ко то ром луч св е та пр охо д ящ ий
че рез зу б ец ко л еса за те м нял ся , что озн а ча л о что за па зд ы ва ни е св е та со отв е тс тв уе т
ско рости в р ащ ени я к о л еса .

17. М ож но л и с в о и м и г л аза м и у в и д еть п р ош лое?
С пр ед ы дущ им во пр осо м св я за н пр осто й за б авн ы й факт . Мож но ли личн о св о и м и
гл аза м и ув и д еть со б ы ти е, пр ои схо д ящ ее на пр и м ер , мил лион лет на за д ? Да, и это
оче нь п р осто с д ел ать - д оста то чн о п о см отр е ть н а н е б о.

Как на ве рно е чи та те л и уж е дога д ал ись , все дел о в ско рости св е та . Рассто ян и е от
Зем ли до Сол нц а со ста вл яе т 15 0м лн ки л ом етр ов, св е т пр еод ол ева е т его за 8 минут.
Таки м об разо м , ко гд а мы см отр и м на не б о, мы ви д им Сол нц е та к, ка к оно бы ло 8
минут на за д . Смотр я на Юпи те р, мы ви д им его с за па зд ы ва ни ем пр и м ерно в по л ча са .
Рассто ян и е до други х зв е зд го ра зд о бол ьш е. Сири ус мы ви д им та ки м , ка ки м он бы л 8
лет на за д , зв е зд а Вега им ее т ра ссто ян и е в 25 св е то вы х лет, сто л ько нуж но св е ту
что б ы дол ете ть до Зем ли. Тум анн о сть Анд ром ед ы мы ви д им с за па зд ы ва ни ем в 2.5
мил лиона лет - вр ем я со по ста ви м ое с пе ри од ом жизн и мам онто в и пе рво б ы тн ы х
лю дей . Есл и бы та м ви се л о ги га нтс ко е зе рка л о, в ко то ром отр аж ал ась бы Зем ля,
ги по те ти че ски мож но бы ло бы их ув и д еть , хо тя та ко го разм ера те л еско п ко не чн о же
физи че ски н е во зм ож ен.

А есл и се рье зн о , то данны й факт за па зд ы ва ни я св е та оче нь по м ога е т астр оно м ам
изу ч а ть исто ри ю Все л енно й - на б л ю дая уд ал енны е га л акт и ки , на хо д ящ иеся на
рассто ян и и мил лиард ов св е то вы х лет, мы ви д им их ​в пр ош лом - их св е т шел до на с
эти са м ы е мил лиард ы лет. И та ки м об ра зо м , че м мощ не е те л еско п, те м дал ьш е ​во
вр ем ени он по зв о л яе т за гл ян уть , те м са м ы м, по зв о л яя ви д еть то вр ем я, ко гд а и
га л акт и ки и з в е зд ы е щ е б ы ли м ол од ы ми.

С друго й сто роны , в за па зд ы ва ни и св е та есть и бол ьш ой минус. Даж е есл и буд ут
со зд аны ко см иче ски е ко ра б л и, сп о со б ны е дол ете ть до друго й зв е зд ы , об м ени ва ть ся
со об щ ени ям и с ко см она вта м и пр и д етс я с те м же за па зд ы ва ни ем . К пр и м еру,
рад иосо об щ ени е до Сири уса дой д ет до по л уч а те л я че рез 8,6 лет, и сто л ько же
пр и д етс я ждать отв е та . Уж е се й ча с те о рети че ски мож но по го во ри ть по те л еф ону с
астр она вта м и на МКС (в 2015 го д у бри та нски й астр она вт Тим Пик ош иб ся но м ер ом , и
уд иви л не и зв е стн ую женщ ину во пр осо м “З дра вств уй те , это Зем ля? ”) , а во т для Марса
вр ем я за д ерж ки со ста ви т око л о 15 минут - та к что по го во р и ть по те л еф ону ил и по
Ска й пу с м арси анско й к о л они ей б ы ло б ы н е во зм ож но .
18. С ко л ько в о л ьт в э л ект р осе ти ?
Гл уп ы й во пр ос, по д ум аю т мно ги е. Каж ды й шко л ьн и к в Росси и зн а е т что на пр яж ени е в
се ти 220 во л ьт (в СШ А ка ж ды й шко л ьн и к зн а е т что на пр яж ени е в се ти 110 во л ьт).
Пол езн о п р и ве сти т а ку ю к а рти нку :

Кста ти , в 90е го д ы , ко гд а по езд ки за гр ани ц у то л ько ста но ви л ись досту п н ы ми,
не ко то ры е пр и во зи л и ам ери ка нску ю эл ект р они ку , но ра б ота л а она за ча сту ю не дол го ,
из-з а то го что се те во е на пр яж ени е отл ича етс я в 2 раза . А се й ча с даж е чуть бол ьш е, по
росси йско м у ста нд арту 2003 го д а, на пр яж ени е в се ти дол ж но со ста вл ять 230 В .
Пред ел ьн о допусти м ы м откл оне ни ем сч и та етс я 10 % , т.е . зн а че ни я 210-2 50 В в
пр и нц ипе в о зм ож ны .

Но во пр ос за го л овка не в это м . Буд ем для пр осто ты сч и та ть на пр яж ени е равн ы м
“у сл овн ы м” 220 во л ьт. Одна ко по д кл ю чи м осц ил логр аф к эл ект р осе ти , и ув и д им
пр и м ерно т а ку ю к а рти нку :

Что э то з н а чи т? Г д е “ н а ш и” 2 2 0 в о л ьт?

Все пр осто (х о тя и не со все м ). Ток в се ти пе рем енны й - он меняе т св о е на пр авл ени е с
ча сто то й 50 раз в се ку н д у. В отл ичи е к пр и м еру, от бата р ей ки - есл и на не й на пи са но
1.5 во л ьта , это зн а чи т что на не й дей ств и те л ьн о 1.5 во л ьта и на пр авл ени е то ка не
меняе тс я . Но ве рне м ся к розе тке . Ток в не е по д аетс я не пр осто та к, а с цел ью
вы по л не ни я ка ко й -л иб о раб оты . Как изм ери ть ра б оту пе ре м енно го то ка , ко то ры й в
разн ы е мом енты вр ем ени дви ж етс я то в од ну, то в другу ю сто рону? Для это го бы ло
вве д ено по няти е ​дей ств ую щ его ​на пр яж ени я - ве л ичи ны ​по ст оян но го тока ​,
сп о со б но го вы по л ни ть ту же ра б оту (н а пр и м ер на гр ев сп и рал и эл ект р опл итки ).
Напр яж ени е, ко то рое по ка зы ва е т осц ил л огр а ф - на зы ва е тс я ​ам пл иту д ны м ​. Эти
ве л ичи ны с в я за ны п р осто й ф ор м ул ой :

220 ум но ж енно е на √2 , дает ка к раз 310В . Разу м еетс я , об ы чн ы й те сте р отка л иб рова н в
“б ы то вы х” ед ини ц ах, в реж им е изм ере ни я пе рем енно го то ка он по ка ж ет 220 В . А есл и
вы пр ям ить на пр яж ени е, на пр и м ер диод ны м мости ко м , то те сте р по ка ж ет ка к раз 310 В
по сто ян но го т о ка .

И е щ е н е м но го п р о п е рем енны й т о к. О тку д а б еретс я н а пр яж ени е в 3 80 в о л ьт? Т ок о т
тр ансф орм ато ра п о д аетс я п о 3 м ф аза м : э то 3 л ини и, н а пр яж ени е в к о то р ы х с д ви нуто
на р азн ы й у го л д руг о тн о си те л ьн о д руга .

Карти нка и з В ики пе д ии:

Нул ево й пр ово д - об щ ий. В кв а рти ры по д аетс я на пр яж ени е с од но й из фаз, зн а че ни ем
в ста нд артн ы е 220 во л ьт. Это на пр яж ени е на зы ва етс я ​фазн ы м ​. Есл и же исп о л ьзу е тс я
3х-ф азн а я се ть цел ико м , то на пр яж ени е меж ду двум я фаза м и, на пр и м ер в то чка х a и с
на р и сун ке , с о ста вл яе т к а к р аз 3 8 0 в о л ьт. Э то н а пр яж ени е н а зы ва етс я ​лине й ны м ​.

Мате м ати че ски , о б а н а пр яж ени я с в я за ны п р осто й ф орм ул ой :

Дей ств и те л ьн о , 2 20*√ 3 = 3 8 0.

Кста ти , об ры в нул ево го пр ово д а в дом е - се р ье зн а я не и сп р а вн о сть , из-з а че го в
кв а рти ры мож ет бы ть по д ано лине й но е на пр яж ени е, со ста вл яю щ ее те са м ы е 380В .
Тако й сл уч а й пр ои зо ш ел личн о с авто ром , вп р оче м ущ ерб ока за л ся не ве л ик,
пе рего рел и лиш ь на сте нны е эл ект р онны е ча сы и не ско л ько бл око в пи та ни я. Но пр и
отс утс тв и и в дом е лю дей это мож ет пр и ве сти и к по ж ар у, та ки е сл уч а и не ред ко сть .
Так что те м , у ко го в кв а рти ре ста р ая пр ово д ка , реко м енд уе тс я уста но ви ть в
эл ект р ощ ито к устр ой ств о за щ иты от пе рена пр яж ени я, его цена не ве л ика , и явн о
деш евл е р ем онта в к в а р ти ре .

19. П ри л ож ени е 1 - В ы чи сл ени я с п о м ощ ью в и д еока рты
Ещ е 20 лет на за д , во вр ем ена пр оц ессо ров 80 386, по л ьзо ва те л ям пр и хо д ил ось
по ку п а ть мате м ати че ски й со пр оц ессо р , по зв о л яю щ ий бы стр е е вы по л нять вы чи сл ени я
с пл ава ю щ ей то чко й . Сей ча с та ко й со пр о ц ессо р по ку п а ть уж е не на д о - бл аго д аря
пр огр ессу в игр ово й инд устр и и, даж е встр о енна я ви д еока рта ко м пью те ра им еет
ве сь м а не пл охую вы чи сл ите л ьн ую мощ но сть . Напр и м ер, даж е бю дж етн ы й ви д еочи п
In te l Gra phic s 4600 им ее т 20 вы чи сл ите л ьн ы х бл око в, что пр евы ш ает ко л иче ств о яд ер
“о сн о вн о го ” пр оц ессо ра. Разу м ее тс я , ка ж дое яд ро GPU по отд ел ьн о сти сл аб ее CPU ,
но зд есь ка к раз то т сл уч а й , ко гд а ко л иче ств о дает пр еи м ущ еств о на д ка че ств о м .
Вы чи сл ени я с по м ощ ью GPU се й ча с оче нь по пул яр ны - от май ни нга битко и но в до
на уч н ы х расч е то в, диапа зо н цено вы х реш ени й та кж е ра зл иче н, от “б есп л атн о й ”
встр оенно й ви д еока рты до NVID IA Tesla цено й бол ее 100ты с руб л ей . Поэто м у
инте ресн о п о см отр еть , к а к ж е э то р аб ота е т.

Есть две осн о вн ы е биб л иоте ки для GPU -р асч е то в - NVid ia CUD A и OpenC L. Перва я
об л ад ает бол ьш им и во зм ож но стя м и, од на ко раб ота ет то л ько с ка рта м и NVID IA .
Биб л иоте ка OpenC L раб ота ет с го ра зд о бол ьш им чи сл ом гр а ф иче ски х ка рт, по это м у
мы р ассм отр и м и м енно е е.

Осн о вн о й пр и нц ип GPU -р а сч е то в - па рал л ел ьн о сть вы чи сл ени й. Данн ы е, хр анящ иеся
в “г л об ал ьн о й па м яти ” (g lo bal & co n sta nt mem ory ) устр ой ств а , об раб аты ва ю тс я
мод ул ям и (к а ж ды й мод ул ь на зы ва етс я “я д ром ”), ка ж ды й из ко то ры х раб ота ет
па рал лел ьн о с други м и. Мод ул ь им еет и св о ю со б ств е нную па м ять для
пр ом еж уто чн ы х д анны х ( p riv a te m em ory ). Т ак э то в ы гл яд ит в в и д е б л ок-с хе м ы :

Таки м об разо м , есл и за д ача мож ет бы ть ра зб ита на не б ол ьш ие бл оки , па рал лел ьн о
об раб аты ва ю щ ие не б ол ьш ой фрагм ент бл ока данны х, та ка я за д ача мож ет
эф фект и вн о б ы ть р еш ена н а G PU .

Рассм отр и м пр и м ер: не об хо д им о пр ове ри ть , ка ки е чи сл а в масси ве явл яю тс я
пр осты ми. Масси в мож ет бы ть бол ьш им , на пр и м ер мил лион эл ем енто в. Така я за д ача

ид еал ьн а для расп а рал лел ива ни я: ка ж дое чи сл о мож ет бы ть пр ове р ено не за ви си м о
от п р ед ы дущ его .

Для р еш ени я т а ко й з а д ачи с п о м ощ ью O penC L н е об хо д им о в ы по л ни ть р яд ш аго в.
1. Напи са ть к о д м икр ояд ра ( k e rn el) :
Это т ко д буд ет за пуска ть ся не по ср ед ств е нн о на гр аф иче ски х пр оц ессо ра х
ви д еока рты . Код пи ш етс я на язы ке C. В данно м пр и м ере мы для уп р ощ ени я
хр ани м к о д п р ям о в в и д е с тр оки в п р огр ам ме.
co nst c h ar * K ern elS ourc e = " \n " \
"_ _ke rn el v o id p rim es( \n " \
" _ _glo bal u nsig ned in t* in put, \n " \
" _ _glo bal u nsig ned in t* o utp ut) \n " \
"{ \n " \
" u nsig ned in t i = g et_ glo bal_ id (0 ); \n " \
" //p rin tf( \" T ask-% d\\ n \" , i) ; \n " \
" o utp ut[i] = 0 ; \n " \
" u nsig ned in t v a l = in put[i] ; \n " \
" fo r(u nsig ned in t p = 2; p < =va l/ 2 ; p + +) { \n " \
" if ( v a l % p = = 0 ) \n " \
" r e tu rn ; \n " \
" } \n " \
" o utp ut[i] = 1 ; \n " \
"} \n " \
"\n ";

Суть к о д а п р оста . М асси в in p ut х р ани т ч и сл а, к о то р ы е н уж но п р ове ри ть , ф ун кц ия
get_ glo bal_ id в о зв р ащ ает и нд екс з а д ачи , к о то р ую в ы по л няе т д анно е я д ро. М ы
берем ч и сл о с н уж ны м и нд екс о м , п р о ве ряе м е го н а п р осто ту , и з а пи сы ва ем 0 и л и
1 в з а ви си м ости о т р езу л ьта та , в м асси в o utp ut.

2. Ини ц иал изи рова ть п о д го то вку в ы чи сл ени й:
in t g pu = 1 ;
clG etD evic e ID s(N ULL, g pu ? C L_D EV IC E_T Y PE_G PU : C L_D EVIC E_T Y PE_C PU , 1 ,
&devic e _id , N ULL);
cl_ co nte xt c o nte xt = c lC re ate C onte xt( 0 , 1 , & devic e _id , N ULL, N U LL, & err);
cl_ co m mand_queue c o m mands = c lC re ate C om mandQ ueue(c o nte xt, d evic e _id , 0 , & err);

На э то м э та пе м ож но в ы бра ть г д е б уд ут п р ои зв о д ить ся в ы чи сл ени я, н а о сн о вн о м
пр оц ессо ре и л и н а G PU . Д ля о тл ад ки у д об не е о сн о вн о й п р оц ессо р,
око нча те л ьн ы е р асч е ты б ы стр ее н а G PU .

3. Под го то ви ть д анны е
#defin e D ATA _S IZ E 1 024
cl_ uin t * d ata = ( c l_ uin t* )m allo c(s iz e of( c l_ uin t) * D ATA _S IZ E );
cl_ uin t * re su lt s = ( c l_ uin t* )m allo c(s iz e of( c l_ uin t) * D ATA _S IZ E );

4. Загр узи ть д анны е и п р огр а м му и з о сн о вн о й п а м яти в G PU
cl_ pro gra m p ro gra m = c lC re ate P ro gra m W it h S ourc e (c o nte xt, 1 , ( c o nst c h ar * *) &
Kern elS ourc e , N ULL, & err);

clB uild P ro gra m (p ro g ra m , 0 , N U LL, N ULL, N U LL, N ULL);
cl_ ke rn el k e rn el = c lC re ate K ern el( p ro gra m , " p rim es", & err);
cl_ m em o utp ut = c lC re ate B uffe r(c o nte xt, C L_M EM _W RIT E _O NLY , s iz e of( c l_ uin t) * c o unt,
NULL, N ULL);

clE nqueueW rit e B uffe r(c o m mands, in put, C L_T R UE, 0 , s iz e of( c l_ uin t) * c o unt, d ata , 0 , N ULL,
NULL);
clS etK ern elA rg (k e rn el, 0 , s iz e of( c l_ m em ), & outp ut) ;

clG etK ern elW ork G ro upIn fo (k e rn el, d evic e _id , C L_K E R NEL_W ORK_G RO UP_S IZ E ,
siz e of( lo ca l) , & lo ca l, N ULL);

5. Запусти ть в ы чи сл ени я н а G PU и д ож дать ся и х з а ве рш ени я
glo bal = D ATA _S IZ E ;
clE nqueueN DRang eK ern el( c o m mands, k e rn el, 1 , N ULL, & glo ba l, & lo ca l, 0 , N U LL, N ULL);
clF in is h (c o m mands);

6. Загр узи ть р езу л ьта ты о б ра тн о и з G PU в о сн о вн ую п а м ять
clE nqueueR eadB uff e r( c o m mands, o utp ut, C L_T R UE, 0 , s iz e o f( c l_ uin t) * c o unt, r e su lt s , 0 ,
NULL, N ULL ) ;

7. Осв о б од ить д анны е
fr e e(d ata );
fr e e(re su lt s );
clR ele ase M em Obje ct( in put) ;
clR ele ase M em Obje ct( o utp ut) ;
clR ele ase P ro gra m (p ro gra m );
clR ele ase K ern el( k e rn el) ;
clR ele ase C om mandQ ueue(c o m mands);
clR ele ase C onte xt( c o nte xt) ;

Как мож но ви д еть , пр оц есс дово л ьн о -т а ки гр ом озд ки й, но оно то го сто и т. Для пр и м ера ,
пр ове рка пр осто ты 250 000 чи се л за нял а на пр оц ессо ре Core i5 око л о 6 се ку н д . И все го
лиш ь 0.5 се ку н д за нял о вы по л не ни е вы ш епр и ве д енно го ко д а на встр оенно й
ви д еока рте . Для деш ево го не тб ука с пр оц ессо ро м In te l Ato m это т же ко д вы по л нял ся
34 се ку н д ы на осн о вн о м пр оц ессо ре , и 6 се ку н д на GPU . Т.е . разн и ц а ве сь м а
пр и л ичн а .

Разу м еетс я , ещ е раз сто и т по вто р и ть , что “и гр а сто и т св е ч” лиш ь в то м сл уч а е , есл и
за д ача хо рош о расп а рал лел ива етс я на не б ол ьш ие бл оки , в та ко м сл уч а е вы игр ы ш
буд ет з а м ете н.

Влад ел ьц ы ви д еока рт NVID IA (о со б енн о игр овы х и доста то чн о мощ ны х) могу т та кж е
по см отр еть в сто рону биб л иоте ки NVID IA CUDA, расч е ты с ее по м ощ ью дол ж ны бы ть
ещ е б ы стр ее.

20. П ри л ож ени е 2 - Б ы стр од ей ств и е я зы ка P yth on
Язы к Pyth on оче нь уд об ен св о е й кр атко сть ю и лако ни чн о сть ю , во зм ож но сть ю
исп о л ьзо ва ни я бол ьш ого ко л иче ств а сто ронни х биб л иоте к. Одна ко , од ин из его
минусо в, ко то ры й мож ет бы ть кл ю че вы м для мате м ати че ски х расч е то в - это
бы стр од ей ств и е. Pyth on это инте рпр ета то р, он не со зд ает exe -ф ай л , что разу м еетс я ,
ска зы ва етс я н а с ко рости в ы по л не ни я п р огр ам мы .

Рассм отр и м пр осто й пр и м ер: рассч и та ем сум му кв а д ра то в чи се л от 1 до 1000 000 .
Такж е в ы ве д ем в р ем я в ы по л не ни я п р огр ам мы .
Прогр ам ма н а я зы ке P yth on в ы гл яд ит т а к:
im port tim e
sta rt_ tim e = tim e.tim e()

s = 0
fo r x in r a nge(1 ,1 000001):
s + = x *x

prin t( " S um ={}, T ={}s ".fo rm at( s , tim e.tim e() - s ta rt_ tim e))

Резу л ьта ты р аб оты :
Sum = 3 3333383333350 000 0, T = 0 .4 7 s

Учи ты ва я, что чи се л все го мил лион, не та к уж и бы стр о. Попр об уе м уско ри ть
пр огр ам му, для это го по во зм ож но сти исп о л ьзу е м фун кц ии встр о енн ы х биб л иоте к.
Они з а ча сту ю н а пи са ны н а С , и р аб ота ю т б ы стр е е.

im port tim e
sta rt_ tim e = tim e.tim e()

l = r a nge(1 000001)
s = s u m (x *x fo r x in l)

prin t( " S um = { }, T = { } s ".fo rm at( s , tim e.tim e() - s ta rt_ tim e))

Резу л ьта ты р аб оты :
Sum = 3 3333383333350 000 0, T = 0 .3 2 s

Бы стр ее, н о л иш ь ч уть -ч уть . К т о м у ж е, д анны й к о д х р ани т в е сь м асси в в п а м яти , ч то
не уд об но .

И н а ко не ц , п р и зы ва ем “ т я ж ел ую а рти л лери ю ”: н а пи ш ем п р огр ам му н а я зы ке C . К од
вы гл яд ит т а к:
#in clu de < std io .h >
#in clu de < tim e.h >

in t m ain ()

{
c lo ck_ t s ta rt = c lo ck();

u nsig ned lo ng lo ng in t s u m = 0 , i;
fo r(i= 1; i< 1000001; i+ +) {
s u m + = i* i;
}

c lo ck_ t e nd = c lo ck() ;
p rin tf( " S um = % llu , T = % fs ", s u m , ( flo at) (e nd - s ta rt) /C LO CKS _P ER _S EC );
r e tu rn 0 ;
}

Как мож но ви д еть , он не на м но го сл ож не е pyth o n-в е рси и. Перед за пуско м пр огр а м мы ,
ее на д о ско м пи л ирова ть , вы по л ни в ко м анд у ​C:\G CC\b in \g cc.e xe "A ppen dix -2 -
sp eed Test.c " -o "A ppen d ix -2 - sp eed T est" ​. Резу л ьта т оче ви д ен: T = 0.0 07 се ку н д . И
ещ е чуть -ч уть : доб авл яе м флаг опти м иза ц ии по ско рости , вы по л ни в ко м анд у
C:\G CC\b in \g cc.e xe "A ppen dix -2 - sp ee d Tes t.c " -o "A ppen dix -2 - sp ee d Test" -O 3 ​.
Резу л ьта т: 0 .0 035 с е ку н д , р азн и ц а в б ы стр од ей ств и и б ол ее 1 00 р аз!

Увы , в бол ее сл ож ны х за д ача х та ко го пр и ро ста реал ьн о не бы ва ет (в по сл ед не м
пр и м ере оче нь ко ротки й ко д , ко то ры й ви д им о по л но сть ю по м ещ аетс я в ке ш -п а м яти
пр оц ессо ра), но на не ко то р ое ул уч ш ени е бы стр од ей ств и я мож но рассч и ты ва ть . Хотя
пе репи сы ва ни е пр огр ам мы - это кр ай ни й сл уч а й , сн а ча л а цел есо об разн о по и ска ть
ста нд артн ы е биб л иоте ки , ко то ры е во зм ож но уж е реш аю т данную за д ачу. К пр и м еру,
сл ед ую щ ий к о д н а я зы ке P yth on, в ы чи сл яе т с ум му э л ем енто в м асси ва з а 0 .1 с:
a = r a nge(1 000001)
s = 0
fo r x in a :
s + = x
prin t( s )

Мож но и сп о л ьзо ва ть в стр оенн ую ф ун кц ию ​su m ​:
a = r a nge(1 000001)
s = s u m (a )
prin t( s )

Данны й ко д вы по л няе тс я за 0.0 2 се ку н д ы , т.е . в 5 раз бы стр ее пе рво го ва ри анта . Но
разу м еетс я , есл и за ране е изв е стн о , что за д ача со сто и т в об раб отке бол ьш ого на б ора
чи се л (н а пр и м ер по и ск пр осты х чи се л ил и маги че ски х кв а д рато в), то мож ет бы ть
бол ее цел есо об разн ы м ср а зу пи са ть пр огр а м му на С ил и С++, в пр и нц ипе это не
на м но го с л ож не е, а р аб ота ть п р огр ам ма б уд ет б ы стр е е.

Закл ю че ни е
На это м данна я кн и га за ко нче на , хо тя на д ею сь , что не на все гд а - по во зм ож но сти и по
мере по явл ени я но вы х ид ей , но вы е гл авы буд ут допи сы ва ть ся . Авто р на д еетс я , что
хо ть не м но го уд ал ось по зн а ко м ить чи та те л ей с ув л ека те л ьн ы м миром мате м ати ки и
пр огр ам мирова ни я.

Прод ол ж ени е с л ед уе т.

Обо н а й д енны х н е то чн о стя х и л и д опо л не ни ях п р ось б а п и са ть н а э л ект р онную п о чту
dm it r y e lj@ gm ail. c o m ​. Н ал ичи е н о во й в е рси и м ож но п р ове ри ть н а с тр ани ц е
http ://d m it r y e lj. s p b.r u /m ath .h tm ​.

Сообщить о нарушении / Abuse

Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.