Жорданова форма

До загрузки: 30 сек.



Благодарим, что скачиваете у нас :)

Если, что - то:

  • Поделится ссылкой:
  • Документ найден в свободном доступе.
  • Загрузка документа - бесплатна.
  • Если нарушены ваши права, свяжитесь с нами.
Формат: pdf
Найдено: 17.09.2020
Добавлено: 20.09.2020
Размер: 0.28 Мб
СПбГУ

Æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà
Ìàäóíö À. È., ÑÏáÃÓ, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê 26 èþíÿ 2020 ã.
Íàïîìíèì: L ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K, ïðè÷åì dimL=
n .
1 Îïåðàòîðíûé ìíîãî÷ëåí
1.1 Îïðåäåëåíèå. Ïóñòüf(t) = a
m tm
+    +a
0 2
K[t ]; A 2 End
K(
L ):
Òîãäà f(A ) = a
m A m
+    +a
0id
2End
K(
L ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðíûì
ìíîãî÷ëåíîì (çíà÷åíèåì f(t) ïðè t= A).
1.2 Îïðåäåëåíèå. Åñëèf(A ) = O, òî ãîâîðÿò, ÷òî f(t)  àííóëÿòîð
(àííóëèðóþùèé ìíîãî÷ëåí) A. Óíèòàðíûé àííóëÿòîð íàèìåíüøåé ñòå-
ïåíè íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì Aè îáîçíà÷àåòñÿ 
A (
t) .
Ïðèìåð. A= d dt
2
End( K
n[
t ]) . Òîãäà f(t) = tn
+1
 åãî àííóëÿòîð.
1.2.1 Çàìå÷àíèå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî êîëüöî ýíäîìîðôèçìîâ íå ÿâëÿ-
åòñÿ êîììóòàòèâíûì, ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè f(t) = f
1(
t) f
2(
t) , òî
f (A ) = f
1(
A )f
2(
A ) = f
2(
A )f
1(
A );
ïîñêîëüêó ïåðåìíîæàþòñÿ òîëüêî ýëåìåíòû ïîëÿ è ñòåïåíè îäíîãî è òîãî
æå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
1.3 Òåîðåìà (îá îïåðàòîðíîì ìíîãî÷ëåíå) .Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí
åäèíñòâåíåí, ïðè÷åì ëþáîé àííóëÿòîð íà íåãî äåëèòñÿ.
Åñëè f(t) ; g (t)  àííóëÿòîðû A, òî èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü
d (t) = gcd( f(t) ; g (t))  òîæå àííóëÿòîð A.
1

Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî ôîðìóëå äëÿ ëèíåéíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íàè-
áîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ èìååì
d(t) = (t) f (t) + (t) g (t) :
Ïîäñòàâèâ â ýòî ðàâåíñòâî t= A è âñïîìíèâ, ÷òî f(A ) = g(A ) = O,
èìååì
d(A ) = (A )f (A ) + (A )g (A ) = O;
òî åñòü, d(t)  àííóëÿòîð A.
Ïóñòü òåïåðü f(t)  ïðîèçâîëüíûé àííóëÿòîð A, à 
A (
t)  ìèíè-
ìàëüíûé ìíîãî÷ëåí. Òîãäà d(t) = gcd( 
A (
t) ; f (t))  òîæå àííóëÿòîð (áåç
îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè åãî ìîæíî âûáðàòü ïðèâåäåííûì). Îí äåëèò ìè-
íèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí, ïðè÷åì íå ìîæåò èìåòü ìåíüøóþ ñòåïåíü. Ñëå-
äîâàòåëüíî, d(t) = 
A (
t) è, ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì f(t) 
ïðîèçâîëüíîãî àííóëÿòîðà. Åñëè èìåþòñÿ äâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíà,
îíè äåëÿòñÿ äðóã íà äðóãà è óíèòàðíû, à çíà÷èò, ñîâïàäàþò. Ïðèìåð. A= d dt
2
End( K
n[
t ]) . Ïîñêîëüêó f(t) = tn
+1
 åãî àííóëÿ-
òîð, ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí êàê äåëèòåëü àííóëÿòîðà èìååò âèä ts
. Íî
A s
6
= O ïðè s n. Òàêèì îáðàçîì, 
A (
t) = tn
+1
.
1.4 Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåòk2 N òàêîå, ÷òî
A k
= O;A k
1
6
= O;
òî ãîâîðÿò, ÷òî A íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð èíäåêñà k.
Ïðèìåð. A= d dt
2
End( K
n[
t ])  íèëüïîòåíòíûé èíäåêñà n+ 1 .
1.5 Òåîðåìà (î íèëüïîòåíòíîì ëèíåéíîì îïåðàòîðå) .1.A  íèëü-
ïîòåíòíûé èíäåêñà kòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 
A (
t) = tk
:
2. Åñëè A íèëüïîòåíòíûé èíäåêñà k, òî ñóùåñòâóåò u2 Lòàêîå,
÷òî u;Au; : : : ; Ak
1
u  ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû.
Äîêàçàòåëüñòâî. ÍèëüïîòåíòíîñòüAèíäåêñà kîçíà÷àåò, ÷òî tk

àííóëÿòîð, à tk
1
íåò. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ
äåëèòåëåì ëþáîãî àííóëÿòîðà, ïîëó÷àåì 
A (
t) = tk
: Àíàëîãè÷íî åñëè
 A (
t) = tk
; òî Ak
= O, à Ak
1
6
= O.
Äîêàæåì âòîðîå ñâîéñòâî. Ïóñòü A íèëüïîòåíòíûé èíäåêñà k. Ïî-
ñêîëüêó Ak
1
6
= O, ñóùåñòâóåò u2 Lòàêîå, ÷òî Ak
1
u 6
= :ßñíî, ÷òî
òîãäà u;Au; : : : ; Ak
2
u òîæå íåíóëåâûå.
2

Ïóñòü

0u
+
1A
u +    +
k 1A k
1
u = : Ïðèìåíèâ ê äàííîìó òîæ-
äåñòâó îïåðàòîð Ak
1
è âîñïîëüçîâàâøèñü íèëüïîòåíòíîñòüþ, ïîëó÷àåì
ðàâåíñòâî
0A k
1
u = . Çíà÷èò,
0 = 0
è
1A
u+    +
k 1A k
1
u = :Ïðè-
ìåíèì ê òîæäåñòâó Ak
2
è ïðîäîëæèì ðàññóæäåíèÿ.  èòîãå ïîëó÷àåì,
÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íóëåâûå, òî åñòü, âåêòîðû
ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
1.6 Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåòu2 Lòàêîå, ÷òî u;Au; : : : ; An
1
u 
ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû, òî ãîâîðÿò, ÷òî u;Au; : : : ; An
1
u  öèêëè-
÷åñêèé áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L, à ñàìî ïðîñòðàíñòâî öèêëè÷íî.
1.6.1 Çàìå÷àíèå. Ïî òåîðåìå î íèëüïîòåíòíîì ëèíåéíîì îïåðàòîðå åñ-
ëè A íèëüïîòåíòíûé èíäåêñà n, òî Löèêëè÷íî è èìååò áàçèñ âèäà
e = ( u;Au; : : : ; An
1
u ):
 ýòîì áàçèñå ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà òàêîâà:
Ae= 0
B
B
B
B
@ 0 0
: : :0 0
1 0 : : :0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : :1 0 1
C
C
C
C
A :
Ïðèìåð. ÄëÿA= d dt
2
End( K
n[
t ]) ìîæíî âûáðàòü u= t
n n
!. Òîãäà
ýëåìåíòû e
i = t
i i
! ; i
=n; : : : ; 1ñîñòàâëÿþò öèêëè÷åñêèé áàçèñ.
1.7 Òåîðåìà (î ÿäðå îïåðàòîðíîãî ìíîãî÷ëåíà) .Äëÿ ëþáîãî f(t) 2 K[t ]
âåðíî, ÷òî ÿäðî f(A )èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, ïðè÷åì
åñëè f(t) = f
1(
t) : : : f
m(
t) è âñå ìíîæèòåëè ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû,
òî Ker f(A ) = Ker f
1(
A )     Kerf
m (
A ):
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêf(A ) = B 2 End(L), åãî ÿäðî ÿâëÿåòñÿ
ïîäïðîñòðàíñòâîì L:Äëÿ ïðîâåðêè èíâàðèàíòíîñòè âîçüìåì
x; y 2Ker f(A ); ; 2K:
Òîãäà f(A )(A ( x + y )) = A( f (A )(x) + f(A )(y)) = ;
òî åñòü, x+ y 2Ker f(A ); ÷òî îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü Kerf(A )îò-
íîñèòåëüíî A.  ÷àñòíîñòè, âñå Kerf
i(
A ); i = 1 ; : : : ; m  èíâàðèàíòíûå
îòíîñèòåëüíî Aïîäïðîñòðàíñòâà.
3

Óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ ïðÿìîé ñóììû, äîêàæåì ìåòîäîì ìàòåìà-
òè÷åñêîé èíäóêöèè (ïî ÷èñëó ìíîæèòåëåé). Ïðè m= 2 èìååì f(t) = f
1(
t) f
2(
t) , ïðè÷åì gcd(f
1(
t) ; f
2(
t)) = 1 .
Ïî ôîðìóëå ëèíåéíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ
1 =g(t) f
1(
t) + h(t) f
2(
t) :
Ïîäñòàâèâ â äàííîå ðàâåíñòâî t= A, ïîëó÷àåì id =g(A )f
1(
A )+ h(A )f
2(
A ):
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî x2 L âåðíî
x = g(A )f
1(
A )(x) + h(A )f
2(
A )(x):
Ïóñòü òåïåðü x2 Ker f(A ); x
2=
g(A )f
1(
A )(x); x
1=
h(A )f
2(
A )(x).
Òîãäà x= x
1 +
x
2, ïðè÷åì
f 1(
A )(x
1) =
h(A )f (A )(x) = ; f
2(
A )(x
2) =
g(A )f (A )(x) = :
Ñëåäîâàòåëüíî, x
1 2
Ker f
1(
A ); x
22
Ker f
2(
A )è
Ker f(A ) = Ker f
1(
A ) + Ker f
2(
A ):
×òîáû ïðîâåðèòü, ÷òî ñóììà ïðÿìàÿ, âûáåðåì x2 Ker f
1(
A )\ Ker f
2(
A ):
Ïðèìåíèâ ê íåìó òî æå òîæäåñòâî, èìååì
x= g(A )f
1(
A )(x) + h(A )f
2(
A )(x) = :
Èòàê, áàçà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè åñòü. Äëÿ èíäóêöèîííîãî ïåðå-
õîäà çàïèøåì ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f(t) = ( f
1(
t) : : : f
m1)
f
m (
t) :
Ïîñêîëüêó gcd(f
1(
t) : : : f
m1(
t) ; f
m(
t)) = 1 , ïî äîêàçàííîìó
Ker f(A ) = Ker( f
1(
A ): : : f
m1(
A ))  Ker f
m (
A ):
Ê ïåðâîé ñêîáêå ïðèìåíèìî èíäóêöèîííîå ïðåäïîëîæåíèå (íàïîìíèì,
÷òî â ñëó÷àå ïðÿìîé ñóììû îáúåäèíåíèå áàçèñîâ ïîäïðîñòðàíñòâ äàåò
áàçèñ âñåãî ïðîñòðàíñòâà). Òåîðåìà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.
4

2 Òåîðåìà Êýëè-Ãàìèëüòîíà
2.1 Òåîðåìà (Êýëè-Ãàìèëüòîíà) .
A(
t)  àííóëÿòîð A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì âLáàçèñ eè ââåäåì îáîçíà÷åíèå
B t=
A tid ; B
t=
A
e
tE :
Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A ýòî
 A(
t) = det B
t=






a
11
t a
12: : : a
1n
a 21 a
22
t : : : a
2n
: : : : : : : : : : : :
a n1 a
n2 : : : a
nn
t






;
ïðè÷åì îò âûáîðà áàçèñà ðåçóëüòàò íå çàâèñèò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êîððåêòíî âûïîëíèòü ïîäñòàíîâêó âìåñòî ïåðåìåí-
íîé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, òðåáóåòñÿ ñïåðâà ïðåäñòàâèòü äàííîå âûðàæå-
íèå â âèäå ìíîãî÷ëåíà: 
A(
t) = a
ntn
+    +a
0 2
K[t ]:
Èòàê, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, ÷òî 
A(
A ) = O:Ïåðåéäÿ ê áàçèñó e,
èìååì ðàâíîñèëüíîå óòâåðæäåíèå 
A(
A
e) =
O:
Ïóñòü ìàòðèöà ~
B t âçàèìíàÿ ê
B
t. Ýòó ìàòðèöó ìîæíî ðàçëîæèòü
ïî ñòåïåíÿì t, òî åñòü, ïðåäñòàâèòü â âèäå
~
B t=
C
n 1tn
1
+    +C
0;
ãäå C
i 2
Kn
 n
; i = 1 ; : : : ; n 1(ýëåìåíòàìè âçàèìíîé ìàòðèöû ÿâëÿ-
þòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ýëåìåíòîâ èñõîäíîé, ïîýòîìó ñòåïåíü
óìåíüøèëàñü íà åäèíèöó).
Ïîñêîëüêó 
A(
t) = det B
t, èìååì ~
B tB
t=

A(
t) E ; èëè
( C
n 1tn
1
+    +C
0)(
A
e
tE ) = a
ntn
E +   +a
0E :
Ïðèðàâíèâàÿ â äàííîì òîæäåñòâå êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ
ñòåïåíÿõ t, ïîëó÷àåì
C0A
e=
a
0E ; C
1A
e
C
0=
a
1E ; : : : ;
C
n 1 =
a
nE :
Óìíîæèâ i-îå ðàâåíñòâî íà Ai
e è ñëîæèâ ðåçóëüòàòû, èìååì ñïðàâà

A(
A
e)
,
à ñëåâà O;÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
2.1.1 Çàìå÷àíèå. Ìû ïðîâåðèëè, ÷òî íå òîëüêî ëèíåéíûé îïåðàòîð, íî
è åãî ìàòðèöà â ëþáîì áàçèñå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ñâîåãî õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêîãî ìíîãî÷ëåíà.
5

2.1.2 Ñëåäñòâèå
(î ìèíèìàëüíîì ìíîãî÷ëåíå) .Ìèíèìàëüíûé ìíîãî-
÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ äëèòåëåì åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
ìíîãî÷ëåíà è äåëèòñÿ íà (t 
1)
: : : (t 
s)
; ãäå 
1; : : : ; 
s âñå ðàçëè÷íûå
êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èòàê,
A(
t)  õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, à
 A (
t) = tm
+    +b
0  ìèíèìàëüíûé. Ïîñêîëüêó ïî òåîðåìå Êýëè-
Ãàìèëüòîíà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ àííóëÿòîðîì, à ïî
òåîðåìå îá îïåðàòîðíîì ìíîãî÷ëåíå ëþáîé àííóëÿòîð äåëèòñÿ íà ìèíè-
ìàëüíûé ìíîãî÷ëåí, ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Òåïåðü ïóñòü  ñîáñòâåííîå ÷èñëî A, à x ñîîòâåòñòâóþùèé ñîá-
ñòâåííûé âåêòîð. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî 
A (
A ) = Oâåêòîð x, èìååì
 = 
A (
A )(x) = Am
x +    +b
0x
= ( m
+    +b
0)
x = 
A (
 )x:
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x6
= , ïîëó÷àåì 
A (
 ) = 0 , è ïîòîìó t ÿâëÿåòñÿ
äåëèòåëåì 
A (
t) . Îñòàëîñü ïðèìåíèòü ðåçóëüòàò êî âñåì ñîáñòâåííûì
÷èñëàì.
2.1.3 Ñëåäñòâèå (î õàðàêòåðèñòè÷åñêîì ìíîãî÷ëåíå è ñîáñòâåííûõ ÷èñ-
ëàõ íèëüïîòåíòíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà) .Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî-
÷ëåí íèëüïîòåíòíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà èìååò âèä (t) = ( 1) n
tn
, à
åäèíñòâåííûì ñîáñòâåííûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î íèëüïîòåíòíîì ëèíåéíîì îïåðàòîðå
åãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí  ýòî (t) = tm
. Ïîñêîëüêó îí äåëèòñÿ íà
( t 
1)
: : : (t 
s)
; ãäå 
1; : : : ; 
s âñå ðàçëè÷íûå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêîãî ìíîãî÷ëåíà, ó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íåò äðóãèõ êîðíåé,
êðîìå íóëÿ (è, ñîîòâåòñòâåííî, ó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íåò äðóãèõ ñîá-
ñòâåííûõ ÷èñåë).
2.1.4 Çàìå÷àíèå. Ñ ýòîãî ìîìåíòà ñ÷èòàåì, ÷òî ïîëå Kàëãåáðàè÷åñêè
çàìêíóòî, òî åñòü, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè èç K, îòëè÷íûé
îò êîíñòàíòû, èìååò â Kõîòÿ áû îäèí êîðåíü (à çíà÷èò, ðàñêëàäûâàåòñÿ
íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè).  ýòîì ñëó÷àå 
A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
; ãäå 
1; : : : ; 
s åãî
ðàçëè÷íûå êîðíè. Òîãäà ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì
äàííîãî è äåëèòñÿ íà (t 
1)
: : : (t 
s)
, òî åñòü, èìååò âèä
 A (
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
; 1  m
i
k
i:
6

3 Êîðíåâûå ïîäðîñòðàíñòâà
3.1 Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ëèíåéíîãî îïå-
ðàòîðà A 2End( L) íàçîâåì åãî ñïåêòðîì è îáîçíà÷èì Spec(A).
3.2 Îïðåäåëåíèå. Äëÿ ëþáîãî2 Spec( A)ìíîæåñòâî
V ( ) = fx 2 L:9 l 2 N :B l
 (
x ) = g
íàçûâàåòñÿ êîðíåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, ñîîòâåòñòâóþùèì .
3.2.1 Çàìå÷àíèå. Íàïîìíèì, ÷òîB
t=
A tid (â äàííîì ñëó÷àå âçÿëè
t = ).
Ïî êðèòåðèþ ïîäïðîñòðàíñòâà ëåãêî âèäåòü, ÷òî V( )  äåéñòâèòåëü-
íî ïîäïðîñòðàíñòâî L. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà 
óæå áûëî ââåäåíî L( ) = fx 2 L:B
(
x ) = g  ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ âìåñòå ñ íóëåì, ïðè÷åì ýòî òîæå ïîäïðîñòðàíñòâî L. Òàêèì
îáðàçîì, L( )  V( ).
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå âèäà Bl
( x ) = èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà detB= 0 , ïîíÿòèå êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàí-
ñòâà îñìûñëåííî ëèøü äëÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.
3.3 Òåîðåìà (î ïðèâåäåíèè ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ê òðåóãîëü-
íîìó âèäó) .Äëÿ ëþáîãî A 2End( L) ñóùåñòâóåò òàêîé áàçèñ e, ÷òî
A e= 0
B
B
B
B
@ 
1 0
: : : 0 0
a 21 
2 : : :
0 0
a 31 a
32 : : :
0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
a n1 a
n2 : : : a
nn1 
n1
C
C
C
C
A :
 ýòîì ñëó÷àå 
i(1
i n)  ñîáñòâåííûå ÷èñëà Añ ó÷åòîì êðàòíî-
ñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ìàòåìàòè÷åñêóþ èíäóêöèþ ïî ðàçìåð-
íîñòè ïðîñòðàíñòâà.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå Ax = x è óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Ïóñòü òåïåðü n 2è óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ðàçìåðíîñòåé, ìåíüøèõ
n . Òàê êàê Kàëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, ó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëå-
íà åñòü êîðåíü . Îí ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì.
Îáîçíà÷èì e
n ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð,
L
1 =
< e
n>
.
Òîãäà L
= L=L
1 ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè
n 1. Ââåäåì
ëèíåéíûé îïåðàòîð A 2
End( L
), äåéñòâóþùèé ïî ôîðìóëå A
( x
) = A
x:
7

Îí çàäàí êîððåêòíî, òàê êàê åñëè x
= y
, òî x y= e
n, ïîýòîìó
A x = Ay+ e
n
è A
x = A
y:
Ê äàííîìó îïåðàòîðó ïðèìåíèìî èíäóêöèîííîå ïðåäïîëîæåíèå, òî
åñòü, èìååòñÿ áàçèñ e
1; : : : ; e
n 1, â êîòîðîì åãî ìàòðèöà èìååò âèä
0
B
B
B
B
@ 
1 0
: : : 0 0
a
21 
2 : : : 0 0
a
31 a
32 : : : 0 0
: : : : : : : : : : : : : : : a
n 11 a
n 12 : : : a
n 1n 1 
n 11
C
C
C
C
A :
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A e
1 =

1e
1 +
a
21 e
2 +
   +a
n 11 e
n 1 +
a
n1e
n ; : : : ;
Ae
n 1 =

n 1 +
a
nn 1e
n :
Ïîñêîëüêó e
1; : : : ; e
n 1  îòíîñèòåëüíûé áàçèñ, äîáàâèâ ê íåìó
e
n ,
ïîëó÷àåì òàêîé áàçèñ L, ÷òî
A e= 0
B
B
B
B
@ 
1 0
: : : 0 0
a 21 
2 : : :
0 0
a 31 a
32 : : :
0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
a n1 a
n2 : : : a
nn1 
n1
C
C
C
C
A :
Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî A(
t) = det( A
e
tE ) = ( 1) n
(t 
1)
: : : (t 
n)
;
òî åñòü, íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ñ
ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.
3.4 Òåîðåìà (î ðàçëîæåíèè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà â ñóììó êîðíåâûõ) .
Ïóñòü SpecA=f
1; : : : ; 
sg
: Òîãäà L= V(
1)
     V(
s)
; ïðè÷åì
ðàçìåðíîñòü V(
i)
ðàâíà êðàòíîñòè 
i;
1  i s.
Êðîìå òîãî, âñå ïîäïðîñòðàíñòâà V(
i)
èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëü-
íî A, îïåðàòîðû B
i;
íèëüïîòåíòíû íà V(
i)
è îáðàòèìû íà
V i =
V(
1)
     V(
i 1)
 V(
i+1 )
     V(
s)
;
à ñóæåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Aíà ïîäïðîñòðàíñòâî V(
i)
èìååò
åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî 
i.
8

Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó
A(
A ) = O, èìååì L= Ker 
A(
A ).
Ïóñòü 
A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
: Ïî òåîðåìå î ÿäðå îïåðà-
òîðíîãî ìíîãî÷ëåíà âåðíî, ÷òî
L = Ker( A 
1id
)k
1
     Ker(A 
sid
)k
s
= Ker Bk
1
 1     
KerBk
s
 s:
Ïðîâåðèì, ÷òî KerBk
i
 i =
V(
i)
.
Âîçüìåì x2 Ker Bk
i
 i, òî åñòü òàêîå, ÷òî
Bk
i
 i(
x ) = . Òîãäà ïî îïðåäå-
ëåíèþ êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà x2 V(
i)
è Ker Bk
i
 i 
V(
i)
. Ñëåäîâà-
òåëüíî,
L= Ker Bk
1
 1     
KerBk
s
 s 
V(
1) +
  +V(
s)
 L
äàåò ðàâåíñòâî L= V(
1) +
  +V(
s)
: Óáåäèìñÿ, ÷òî ñóììà ïðÿìàÿ.
Âûáåðåì x2 V(
1)
[ V
1, òî åñòü ýëåìåíò âèäà
x= x
1 =
x
2 +
   +x
n;
ãäå x
i 2
V
i:
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå l
i, ÷òî
Bl
i
 i(
x
i) =
.
Ïî ëèíåéíîìó ïðåäñòàâëåíèþ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ èìååì
1 = (t)( t 
1)l
1
+ (t)( t 
2)l
2
: : : (t 
s) l
s
;
÷òî ïðè t= A äàåò id = (A )B l
1
 1 +
(A )B l
2
 2 : : :
Bl
s
 s:
Ïîäñòàâèâ ñþäà íàøå x, ïîëó÷àåì x= .
Ïðîäåëàâ òî æå ñ x2 V(
i)
\ V
i ïðè âñåõ
i, óáåæäàåìñÿ, ÷òî
V (
i)
\ V
i =
fg ;
òî åñòü, L= V(
1)
     V(
s)
. Ñðàâíèâàÿ ðàçìåðíîñòè, ïîíèìàåì, ÷òî
Ker Bk
i
 i =
V(
i)
.
 ÷àñòíîñòè, V(
i)
êàê ÿäðî îïåðàòîðíîãî ìíîãî÷ëåíà èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî A. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíî òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëü-
íî B
i è ìîæíî îïðåäåëèòü ñóæåíèå ýòîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà
V(
i)
,
êîòîðîå îáîçíà÷èì ~
B i 2
End( V(
i))
. Ñóæåíèå íà V(
i)
ëèíåéíîãî îïå-
ðàòîðà Aîáîçíà÷èì, ñîòâåòñòâåííî, ~
A i.
Ïî äîêàçàííîìó ~
B k
i
 i =
O, òî åñòü, B
i íèëüïîòåíòåí íà
V(
i)
è
f i(
t) = ( t 
i) k
i
 àííóëÿòîð ~
A i. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ~
A i, ÿâëÿÿñü äåëèòåëåì àí-
íóëÿòîðà, èìååò âèä 
~
A 
i(
t) = ( t 
i) l
i
ïðè íåêîòîðîì l
i îò
1äî k
i.
Âñïîìíèì, ÷òî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí èñõîäíîãî ëèíåéíîãî îïåðà-
òîðà ìû çàïèñàëè êàê 
A (
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
; 1  m
i
k
i:
Îí
àííóëèðóåò öåëèêîì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L, à çíà÷èò, âñå åãî ïîäïðî-
ñòðàíñòâà, òî åñòü, äåëèòñÿ íà êàæäîå èç (t 
i) l
i
. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî
9

m
i
l
i. Â òî æå âðåìÿ ïðåäñòàâëåíèå
L= V(
1)
     V(
s)
ãàðàíòè-
ðóåò, ÷òî (t 
1)l
1
: : : (t 
s) l
s
àííóëèðóåò L;è ïîòîìó l
i 
m
i. Â èòîãå
ïîëó÷àåì l
i =
m


~
A 
i(
t) = ( t 
i) m
i
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ~
A i èìååò òå æå êîðíè è ñòåïåíü, ðàâ-
íóþ ðàçìåðíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà:
~
A 
i(
t) = ( 1) n
i
( t 
i) n
i
; n i= dim
V(
i)
:
Çíà÷èò, ñîáñòâåííîå ÷èñëî ~
A i åäèíñòâåííî. Êðîìå òîãî, ïî ñâîéñòâàì
ïðÿìîé ñóììû èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå
áàçèñà Lôîðìàëüíîå îáúåäèíåíèå áàçèñîâ V(
i)
, è â äàííîì áàçèñå ìàò-
ðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Aáóäåò áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé.
Äàëåå ïî òåîðåìå î ïðèâåäåíèè ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ê òðå-
óãîëüíîìó âèäó â êàæäîì èç V(
i)
âûáèðàåì òàêîé áàçèñ, ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóþùàÿ êëåòêà áóäåò òðåóãîëüíà. Öåëèêîì ìàòðèöà áóäåò âûãëÿäåòü
òàê: 0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@ 
1 0
: : : 0: : : 0 0 : : :0
 
1 : : :
0: : : 0 0 : : :0
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :   : : : 
1: : :
0 0 : : :0
: : : : : : : : : : : : .
. . : : : : : : : : : : : :
0 0 : : :0: : : 
s0
: : : 0
0 0 : : :0: : : 
s : : :
0
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : :0: : :   : : : 
s1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A :
Ýòî áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé íà äèàãîíàëè ðàñïîëîæåíû
òðåóãîëüíûå ìàòðèöû, ïðè÷åì íà äèàãîíàëè êàæäîé èç íèõ îäíî è òî æå
ñîáñòâåííîå ÷èñëî 
i ïîâòîðÿåòñÿ
n
i= dim
V(
i)
ðàç.
Ïîñêîëüêó õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ëåã-
êî ñ÷èòàåòñÿ è â äàííîì ñëó÷àå ðàâåí ðàâåí
A(
t) = ( 1) n
(t 
1)n
1
: : : (t 
s) n
s
;
ñðàâíèâ äâå ôîðìóëû, óáåæäàåìñÿ, ÷òî dimV(
i) =
k
i.
Èòàê,
 A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
;  ~
A 
i(
t) = ( 1) k
i
( t 
i) k
i
; k i= dim
V(
i)
:
Êðîìå òîãî, A (
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
;  ~
A 
i(
t) = ( t 
i) m
i
; 1  m
i
k
i:
10

Èç ïîñëåäíåãî ðàâíñòâà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî
~
B i  íèëüïîòåíòíûé
îïåðàòîð èíäåêñà m
i.
Ðàññìîòðèì äåéñòâèå B
i íà
V i =
V(
1)
     V(
i 1)
 V(
i+1 )
     V(
s)
:
Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà B
i ïðè òåõ æå ñîáñòâåííûõ
âåêòîðàõ, ÷òî ó A, âèä 
j

i;
1  j s:Ñëåäîâàòåëüíî, ÿäðî B
i (îíî
ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó äàííîãî îïåðàòîðà) ëåæèò
â V(
i)
, à â V
i èç ÿäðà ïîïàäàåò ëèøü âåêòîð
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî B
i
îáðàòèì íà V
i.
Òåîðåìà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.
3.4.1 Çàìå÷àíèå. Ìû ñóìåëè ïðåäñòàâèòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Lâ
âèäå ïðÿìîé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ, èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî ëèíåé-
íîãî îïåðàòîðà A. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ðàáîòàòü ïî îòäåëüíîñòè
ñ êàæäûì èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ, âûáðàòü â íèõ óäîáíûé áàçèñ, à çà-
òåì, âçÿâ ôîðìàëüíîå îáúåäèíåíèå äàííûõ áàçèñîâ, ïîëó÷èòü áëî÷íî-
äèàãîíàëüíûé âèä ìàòðèöû A.
Ñóæåíèå Aíà êàæäîå èç ïîäïðîñòðàíñòâ èìååò åäèíñòâåííîå ñîá-
ñòâåííîå ÷èñëî 
i, à ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ~
B i íèëüïîòåíòåí.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î íàèáîëåå ïðîñòîì âèäå ìàòðè-
öû ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà äîñòàòî÷íî ðåøèòü àíàëîãè÷íóþ
çàäà÷ó èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ íèëüïîòåíòíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
4 Êëåòêè Æîðäàíà
4.1 Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà âèäà
J m; =0
B
B
B
B
@ 
0: : : 0 0
1  : : : 0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
0 0 : : :11
C
C
C
C
A 2
Km
m
íàçûâàþòñÿ êëåòêîé Æîðäàíà, ñîîòâåòñòâóþùåé ÷èñëó .
4.1.1 Çàìå÷àíèå. Íà ãëàâíîé äèàãîíàëè âûïèñàííîé êâàäðàòíîé ìàò-
ðèöû ñòîèò ÷èñëî, êîòîðîå, êàê ëåãêî âèäåòü, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì. Ïîä
ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ðàñïîëîæåíû åäèíèöû, âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû íó-
ëåâûå. Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ íåìíîãî äðóãîé âèä êëåòêè, ñ åäèíèöàìè
íàä, à íå ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ.
11

Ìàðè Ýíìîí Êàìèëü Æîðäàí (1838  1922)  ôðàíöóçñêèé ìàòå-
ìàòèê, ðåøèâøèé âîïðîñ î íàèáîëåå óäîáíîì âèäå ìàòðèöû ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí êîòîðîãî ðàñêëàäûâàåòñÿ íà
ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.
4.2 Îïðåäåëåíèå. Áàçèñeíàçûâàåòñÿ æîðäàíîâûì áàçèñîì äëÿ ëèíåé-
íîãî îïåðàòîðà A, åñëè â ýòîì áàçèñå åãî ìàòðèöà èìååò âèä
A e= 0
B
B
B
B
@ J
n1;
1 O
: : : O O
O J
n2;
2 : : :
O O
O O : : :O O
: : : : : : : : : : : : : : :
O O : : :OJ
nl;
l1
C
C
C
C
A :
Äàííûé âèä ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé (íîðìàëüíîé) ôîðìîé. Æîðäàíîâà ôîðìà  áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé íà
äèàãîíàëè ðàñïîëîæåíû êëåòêè Æîðäàíà, à îñòàëüíûå áëîêè íóëåâûå.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî 
i â ðàçíûõ êëåòêàõ ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, îäíàêî
ïî òåîðåìå î ïðèâåäåíèè ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ê òðåóãîëüíîìó
âèäó íà îáùåé äèàãîíàëè ìàòðèöû ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.
Ïðèìåðû. Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ îáùåé ôîðìóëû ðàññìîòðèì äâà
âàæíûõ ïðèìåðà  êðàéíèå ñëó÷àè æîðäàíîâîé ôîðìû. 1. Åñëè êîëè÷åñòâî êëåòîê Æîðäàíà ðàâíî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàí-
ñòâà, òî âñå êëåòêè îäíîìåðíû, òàê ÷òî â áàçèñå Æîðäàíà eïîëó÷àåì
A e= 0
B
B
B
B
@ 
1 0
: : : 0 0
0 
2 : : :
0 0
0 0 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
0 0 : : :0
n1
C
C
C
C
A :
Çíà÷èò, æîðäàíîâ áàçèñ è æîðäàíîâà ôîðìà ñîâïàäàþò ñ êàíîíè÷å-
ñêèìè. Âñïîìíèì, ÷òî
A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
;  ~
A 
i(
t) = ( 1) k
i
( t 
i) k
i
;
ïðè÷åì ki = dim
V(
i) = dim
L(
i)
; k
1+
   +k
s =
n
(â äàííîì ñëó÷àå V(
i) =
L(
i)
, òàê êàê â ñâÿçè ñ ñóùåñòâîâàíèåì áà-
çèñà èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ âñå íåíóëåâûå âåêòîðû êîðíåâûõ ïîäïðî-
ñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè).
12

Ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
Aè åãî ñóæåíèé íà
V (
i)
èìåþò âèä
 A (
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
;  ~
A 
i(
t) = ( t 
i) m
i
; 1  m
i
k
i;
ãäå m
i èíäåêñ íèëüïîòåíòíîñòè ~
B i.
Íî V(
i) =
L(
i)
, òî åñòü, ~
B i =
O èm
i= 1
. Èòàê,
 A (
t) = ( t 
1)
: : : (t 
s)
; 
~
A 
i(
t) = ( t 
i)
:
2. Æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ñîñòîèò èç îäíîé
êëåòêè, òî åñòü, â æîðäàíîâîì áàçèñå eìàòðèöà îïåðàòîðà Aèìååò âèä
A e= 0
B
B
B
B
@ 
0: : : 0 0
1  : : : 0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
0 0 : : :11
C
C
C
C
A :
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A(e
1) =
e
1+
e
2; : : : ;
A(e
n 1) =
e
n 1 +
e
n ;
A (e
n ) =
e
n:
Òàêèì îáðàçîì, ëèøü ïîñëåäíèé âåêòîð èç æîðäàíîâà áàçèñà ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì. Ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ñîáñòâåííûì ÷èñëîì Aè ïîòîìó
L = V( ), èìååì
~
A =
A; 
A(
t) = 
~
A (
t) = ( 1) n
(t )n
:
Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ~
B  =
B
 â òîì æå áàçèñå âûãëÿäèò òàê:
B e= 0
B
B
B
B
@ 0 0
: : :0 0
1 0 : : :0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : :1 0 1
C
C
C
C
A :
Ñëåäîâàòåëüíî, e
2 =
B
(
e
1)
; : : : ; e
n=
B
(
e
n 1)
; B
(
e
n ) =
è áàçèñ e
öèêëè÷åñêèé (ñì. Çàìå÷àíèå 1.6.1). Êðîìå òîãî, íåïîñðåäñòâåííûì âû-
÷èñëåíèåì ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
Bn
1
e =0
B
B
B
B
@ 0 0
: : :0 0
0 0 : : :0 0
0 0 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : : 1 0 : : :0 0 1
C
C
C
C
A
13

è
Bn
e =
O, òî åñòü, ëèíåéíûé îïåðàòîð B
 íèëüïîòåíòíûé èíäåêñà

 ~
A (
t) = 
A (
t) = ( t )n
:
4.3 Òåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè æîðäàíîâîé ôîðìû íèëüïîòåíòíîãî ëè-
íåéíîãî îïåðàòîðà) .Íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð èìååò æîð-
äàíîâ áàçèñ.
Äîêàçàòåëüñòâî. ÏóñòüB 2End(L)  íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé
îïåðàòîð èíäåêñà m, òî åñòü, Bm
= O;B m
1
6
= O.
Ïî ñëåäñòâèþ òåîðåìû Êýëè-Ãàìèëüòîíà âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà íèëü-
ïîòåíòíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íóëåâûå, à çíà÷èò, êëåòêè Æîðäàíà
èìåþò âèä 0
B
B
B
B
@ 0 0
: : :0 0
1 0 : : :0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : :1 0 1
C
C
C
C
A :
Ñóùåñòâîâàíèå æîðäàíîâîé ôîðìû èç ïîäîáíûõ êëåòîê ðàâíîñèëüíî
òîìó, ÷òî L= L
1    
L
p;
ãäå âñå L
i èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà
ñ öèêëè÷åñêèì áàçèñîì u
i;
B u
i; : : : ;
Bl
i
1
u i;
äëÿ êîòîðîãî Bl
i
u i =
.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî n.
Ïðè n= 1 èìååì m= 1 ;B = O, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî
(èìååòñÿ îäíà íóëåâàÿ êëåòêà Æîðäàíà). Ïóñòü òåïåðü n 2è äëÿ ïðîñòðàíñòâ ðàçìåðíîñòåé ìåíüøå nòåîðå-
ìà âåðíà. Ïî òåîðåìå î íèëüïîòåíòíîì ëèíåéíîì îïåðàòîðå ñóùåñòâóåò u2 L
òàêîå, ÷òî u;Bu; : : : ; Bm
1
u
ëèíåéíî íåçàâèñèìû (íàïîìíèì, ÷òî Bm
u = , ïîñêîëüêó m èíäåêñ
íèëüïîòåíòíîñòè). Ïóñòü U=< u; Bu; : : : ; Bm
1
u > : Åñëèm=n, òî u;Bu; : : : ; Bn
1
u
 öèêëè÷åñêèé áàçèñ L, â êîòîðîì ìû èìååì ôîðìó Æîðäàíà ñ îäíîé
æîðäàíîâîé êëåòêîé. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m < n. Ëèíåéíûé îïåðàòîð B 2
End( L
), äåéñòâó-
þùèé â ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâå L
= L=U ïî ôîðìóëå B
( x
) = B
(x ) (ìû
óæå ïðîâåðÿëè êîððåêòíîñòü åãî çàäàíèÿ), èìååò èíäåêñ íèëüïîòåíòíî-
ñòè l m.
Ïîñêîëüêó ê ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâó L
= L=U ïðèìåíèìî èíäóêöèîí-
íîå ïðåäïîëîæåíèå, âåðíî, ÷òî L
= U
1   U
p 1;
ãäå U
i èíâàðèàíòíûå
ïîäïðîñòðàíñòâà ñ áàçèñàìè âèäà u
i; B
u
i; : : : ; B
l
i
1
u i;
14

ïðè÷åì B
l
i
u i = :
Îáúåäèíåíèå ýòèõ áàçèñîâ äàåò áàçèñ âñåãî ôàêòîð-
ïðîñòðàíñòâà. Ïî òåîðåìàì î ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâå è îòíîñèòåëüíîì áàçèñå èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî L= U
1    
U
p 1 
U;
ãäå U
i=
< u
i;
B u
i; : : : ;
Bl
i
1
u i >
.
Íàéäåííûå U
i êàê ïîäïðîñòðàíñòâà
Líå îáÿçàòåëüíî èíâàðèàíòíû.
Íàì ëèøü èçâåñòíî, ÷òî B
l
i
u i = 
, òî åñòü,
B l
i
u i 2
U =< u; Bu; : : : ; Bm
1
u > :
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Bl
i
u i =

0u
+
1B
u    +
m 1B m
1
u:
Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íóëåâûå, òî Bl
i
u i =
 , ïîäïðîñòðàíñòâî L
i =
U
i èíâàðèàíòíî è óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì
óñëîâèÿì. Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà íå âñå êîýôôèöèåíòû íóëåâûå. Îáî-
çíà÷èì kíàèìåíüøèé íîìåð íåíóëåâîãî. Òîãäà
Bl
i
u i =

kB k
u +    +
m 1B m
1
u; k6
= 0 :
Ïðèìåíèâ ê äàííîìó òîæäåñòâó Bm
k 1
, ïîëó÷èì Bl
i +
m k 1
u i =

kB m
1
u
(íàïîìíèì, ÷òî Bm
= O). Ïîñêîëüêó âåêòîð ñïðàâà íåíóëåâîé, ñëåâà
òîæå ïîëó÷àåì íåíóëåâîé, ÷òî âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå
li +
m k 1 m 1:
Èòàê, 0 l
i 
k m 1. Äëÿ âåêòîðà
x i =
u
i

kB k
l
i
u   
m 1B m
1 l
i
u
èìååì Bl
i
x i =
Bl
i
u i

kB k
u   
m 1B m
1
u = : Íî x
i = u
i è ïîòîìó B
( x
i) = B
(x
i) = B
( u
i)
: Ñëåäîâàòåëüíî, U
i=
< x
i; B
x
i; : : : ; B
l
i
1
x i >;
à
L i=
< x
i;
B x
i; : : : ;
Bl
i
1
x i >
óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì óñëîâèÿì, âêëþ÷àÿ èíâàðèàíòíîñòü è òî, ÷òî
B l
i
x i =
:
4.3.1 Ñëåäñòâèå (î âèäå æîðäàíîâîé ôîðìû íèëüïîòåíòíîãî ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà) .Ïóñòü B 2End( L)  íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð
èíäåêñà mñ ÿäðîì ðàçìåðíîñòè p. Òîãäà ó íåãî ñóùåñòâóåò æîðäàíîâ
áàçèñ, äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî êëåòîê Æîðäàíà åñòü p= dim Ker B, à íàè-
áîëüøèé ðàçìåð êëåòêè ðàâåí m.
15

Äîêàçàòåëüñòâî.
Ìû çíàåì, ÷òîL= L
1     
L
p;
ãäå L
i  èí-
âàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ñ öèêëè÷åñêèì áàçèñîì u
i;
B u
i; : : : ;
Bl
i
1
u i;
ïðè÷åì Bl
i
u i =
.
 äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Bèíäåêñà íèëü-
ïîòåíòíîñòè máûëî âûáðàíî L
p =
< u; Bu; : : : ; Bm
1
u > : Òî åñòü, êëåòêà
ðàçìåðà mâ íàøåé æîðäàíîâîé ôîðìå èìååòñÿ. Ïðè ýòîì öèêëè÷åñêî-
ãî ïîäïðîñòðàíñòâà áîëüøåé ðàçìåðíîñòè â Láûòü íå ìîæåò, òàê êàê
B m
= O. Ìû óáåäèëèñü, ÷òî íàèáîëüøèé ðàçìåð êëåòêè ðàâåí m.
Òåïåðü ðàññìîòðèì x2 Ker B. Ïîñêîëüêó x= x
1 +
   +x
p; x
i2
L
i, òî
 = Bx = Bx
1 +
   +Bx
p:
Èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ íóëåâîãî âåêòîðà ïîëó÷àåì Bx
1 =
   =Bx
p =
;
òî åñòü, x
i 2
L
i\
Ker B.
Íî äëÿ x
i 2
L
i\
Ker Bèìååì
x i =

0u
i+

1B
u
i  
+
li
1B l
i
1
u i;
B l
i
1
x i =

0B l
i
1
u i =
;
à çíà÷èò,
0 = 0
. Ïðîäîëæàÿ ïðèìåíÿòü ê âûðàæåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèå
ñòåïåíè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà B, â èòîãå ïðèõîäèì ê x
i =

li
1B l
i
1
u i.
Èòàê, Bl
1
1
u 1; : : : ;
Bl
p
1
u p  ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà îáðàçóþ-
ùèõ ÿäðà, òî åñòü, åãî áàçèñ.
4.3.2 Ñëåäñòâèå (î ëèíåéíîì îïåðàòîðå ñ åäèíñòâåííûì ñîáñòâåííûì
÷èñëîì) .Ëèíåéíûé îïåðàòîð ñ åäèíñòâåííûì ñîáñòâåííûì ÷èñëîì èìå-
åò áàçèñ Æîðäàíà, äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî êëåòîê Æîðäàíà ðàâíî êîëè÷å-
ñòâó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, à íàèáîëüøèé ðàç-
ìåð êëåòêè  ñòåïåíè ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. ÏóñòüAèìååò åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî .
Òîãäà 
A (
t) = ( t )m
, à 
B(
t) = tm
, òî åñòü, B
 íèëüïîòåíòåí èíäåêñà
m , è ê íåìó ïðèìåíèìû òåîðåìà î æîðäàíîâîé ôîðìå íèëüïîòåíòíîãî
îïåðàòîðà è åå ñëåäñòâèå î âèäå ýòîé ôîðìû. Ïîñêîëüêó ìàòðèöà Aâ ëþáîì áàçèñå îòëè÷àåòñÿ îò ìàòðèöû B
 íà
ñëàãàåìîå E, îíà â æîðäàíîâîì áàçèñå B
 òîæå áóäåò æîðäàíîâà ñ òåì
îòëè÷èåì, ÷òî íà ãëàâíîé äèàãîíàëè âñþäó ñòîÿò .
5 Òåîðåìà Æîðäàíà
Ìû, íàêîíåö, ãîòîâû äîêàçàòü îñíîâíóþ òåîðåìó î æîðäàíîâîì áàçèñå.
16

5.1 Òåîðåìà
(Æîðäàíà).Ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð Aâ êîíå÷íîìåð-
íîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì èìå-
åò áàçèñ Æîðäàíà, ïðè÷åì æîðäàíîâà ôîðìà åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ
äî ïîðÿäêà êëåòîê. Íà äèàãîíàëè æîðäàíîâîé ôîðìû ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà 
i ñ ó÷å-
òîì êðàòíîñòè, êîëè÷åñòâî êëåòîê äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíî êî-
ëè÷åñòâó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿ äàííîãî ÷èñ-
ëà, à íàèáîëüøèé ðàçìåð êëåòêè ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ ìíîæèòåëÿ
t 
i â ìèíèìàëüíîì ìíîãî÷ëåíå
A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î ðàçëîæåíèè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà
â ñóììó êîðíåâûõ èìååì ðàâåíñòâî
L= V(
1)
     V(
s)
;
ãäå B
i =
A 
iid, à
V(
i)
 êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Îíè èíâàðè-
àíòíû îòíîñèòåëüíî A, îïåðàòîðû B
i íèëüïîòåíòíû íà
V(
i)
.
Ïóñòü ~
A i  ñóæåíèÿ íàøåãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà êîðíåâûå ïîä-
ïðîñòðàíñòâà. Ïî ñëåäñòâèþ î ëèíåéíîì îïåðàòîðå ñ åäèíñòâåííûì ñîá-
ñòâåííûì ÷èñëîì âñå îíè èìåþò áàçèñ Æîðäàíà, â êîòîðîì ÷èñëî êëåòîê
 êîëè÷åñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿ 
i, à íàè-
áîëüøèé ðàçìåð êëåòêè ðàâåí èíäåêñó íèëüïîòåíòíîñòè ~
B i = ~
A i

iid
(ýòîò èíäåêñ ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ ìíîæèòåëÿ t 
i â ìèíèìàëüíîì
ìíîãî÷ëåíå A. Îáúåäèíåíèå òàêèõ áàçèñîâ äàåò æîðäàíîâ áàçèñ âñåãî
ïðîñòðàíñòâà L).
Òî åñòü, îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî æîðäàíîâà ôîðìà åäèíñòâåííà ñ
òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà êëåòîê. Ïîñêîëüêó æîðäàíîâà ôîðìà òðåóãîëüíà, à â ñëó÷àå òðåóãîëüíîé ìàò-
ðèöû íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè, äîñòà-
òî÷íî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 2 Spec Aóáåäèòüñÿ, ÷òî êîëè÷åñòâî êëåòîê
Æîðäàíà êàæäîãî ïîðÿäêà íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà.
Èòàê, ïóñòü e áàçèñ Æîðäàíà. Îáîçíà÷èì N(l;  )êîëè÷åñòâî êëåòîê
Æîðäàíà âèäà J
l; . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
= 
1,
êëåòêè ñ îäíèì è òåì æå ñîáñòâåííîì ÷èñëîì ðàñïîëàãàþòñÿ ïîäðÿä è
ïî óâåëè÷åíèþ èõ ðàçìåðà. Ââåäåì U=< e
1; : : : ; e
k1 >; V
=< e
k1+1 ; : : : ; e
n>
, ãäå áàçèñ Uñîîòâåò-
ñòâóåò æîðäàíîâûì êëåòêàì ñ íà äèàãîíàëè, à áàçèñ Vâñåì îñòàëüíûì.
Êàê ëåãêî âèäåòü, L= U V, ïðè÷åì UèV èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî
A .
Îïåðàòîð B
 íèëüïîòåíòåí íà
U(åãî èíäåêñ íèëüïîòåíòíîñòè ðà-
âåí íàèáîëüøåìó ðàçìåðó êëåòêè ñ íà äèàãîíàëè). Òàêèì îáðàçîì,
U  V( ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàçìåðíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ
17

ñîâïàäàåò ñ êðàòíîñòüþ êîðíÿ
â õàðàêòåðèñòè÷åñêîì ìíîãî÷ëåíå, ïðè-
õîäèì ê âûâîäó, ÷òî U=V( ). Òàêèì îáðàçîì, L= V( ) V, ïðè÷åì íà
V îïåðàòîð B
 íå èìååò íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ïîòîìó îáðàòèì.
Ïî èíâàðèàíòíîñòè äëÿ ëþáîãî k2 N âåðíî
Im Bk
 = Im
Bk
U 
Im Bk
V
(çäåñü B
U ìû îáîçíà÷èëè ñóæåíèå
B
 íà
U, à B
V  ñóæåíèå íà
V).
Ó÷èòûâàÿ îáðàòèìîñòü B
V, èìååì
KerBk
V =
fg ;Im Bk
V =
V è ïîòîìó
Im Bk
 = Im
Bk
U 
V :
Íàïîìíèì, ÷òî
U =V( ) = < x
1;
B
(
x
1)
; : : : ; Bl
1
1
 (
x
1)
>      < x
f;
B
(
x
f)
; : : : ; Bl
f
1
 (
x
f)
>;
ïðè÷åì l
1     
l
f :
Ïîñêîëüêó
B k
 (
< x
i;
B
(
x
i)
; : : : ; Bl
i
1
 (
x
i)
> ) =  (
x
i)
; B k
+1
 (
x
i)
; : : : ; Bk
+ l
i
1
 (
x
i)
>
è Bl
i
 (
x
i) =
;èìååì ïðè k < l
i
B k
 (
< x
i;
B
(
x
i)
; : : : ; Bl
i
1
 (
x
i)
> ) =  (
x
i)
; B k
+1
 (
x
i)
; : : : ; Bl
i
1
 (
x
i)
>
è Bk
 (
< x
i;
B
(
x
i)
; : : : ; Bl
i
1
 (
x
i)
> ) = fg ïðè k l
i.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè ðàçìåðíîñòè îáðàçà V( ) äîñòàòî÷íî
áðàòü ëèøü òå ïðÿìûå ñëàãàåìûå, ó êîòîðûõ l
i 
k+ 1 , è ìû ïîëó÷àåì
ðàâåíñòâî
dim ImBk
 = X
k +1 l
i 
l
f (
l
i
k) + dim V :
Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü îáðàçà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ñîâïà-
äàåò ñ ðàíãîì åãî ìàòðèöû:
dim ImBk
 = rang
Bk
 =
r
k
(ïðè k= 0 ðàâåíñòâî ïðèîáðåòàåò âèä r
0 = dim Im
B0
 = dim Im
id=n).
Èòàê,
rk
r
k+1 = X
k +1 l
i 
l
f (
l
i
k) X
k +2 l
i 
l
f (
l
i
k 1):
Ïðåîáðàçóåì ðåçóëüòàò: r k
r
k+1 = X
k +2 l
i 
l
f ((
l
i
k (l
i
k 1)) + X
l i =
k+1 1 =
X
l i =
k+1 1 +
X
k +2 l
i 
l
f 1
:
18

 ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóììàõ ðîâíî ñòîëüêî ñòîëüêî åäèíèö, ñêîëüêî
èìååòñÿ êëåòîê äàííîãî ïîðÿäêà, òî åñòü,
rk
r
k+1 =
N(k + 1 ; ) + N(k + 1 ; ) +   +N(l
f ; 
)
è (r
k 1
r
k)
(r
k
r
k+1 ) =
N(k;  ):
Èòàê, êîëè÷åñòâî êëåòîê ðàçìåðà käëÿ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà âû÷èñ-
ëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
N(k;  ) = r
k 1
2r
k +
r
k+1 ;
ãäå r
0 =
n; r
k= rang
Bk
 ïðè
k 1, ÷òî íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà.
5.1.1 Ñëåäñòâèå (êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ æîðäàíîâîé ôîðìû ëèíåé-
íîãî îïåðàòîðà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì) .Ëè-
íåéíûé îïåðàòîð â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïðîèç-
âîëüíûì ïîëåì èìååò áàçèñ Æîðäàíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äàííîãî îïåðàòîðà ïîëíîñòüþ ðàñêëàäû-
âàåòñÿ â ýòîì ïîëå íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð Aâ êîíå÷íîìåðíîì ëè-
íåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì èìååò áàçèñ
Æîðäàíà. Åñëè ïîëå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, èçâåñòíî,
÷òî ó íåãî ñóùåñòâóåò àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå íàäïîëå (íàçûâàåìîå
àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì).  àëãåáðàè÷åñêîì çàìûêàíèè ôîðìà Æîðäàíà ñóùåñòâóåò è åäèí-
ñòâåííà, íî äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà îêàçàëàñü ìàòðèöåé ñ ýëåìåíòàìè èç
èñõîäíîãî ïîëÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èñõîäíîìó ïîëþ ïðè-
íàäëåæàëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà, òî åñòü, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî-
÷ëåí ïîëíîñòüþ ðàñêëàäûâàëñÿ òàì íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.
5.1.2 Ñëåäñòâèå (êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà) .Ëè-
íåéíûé îïåðàòîð â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïðîèç-
âîëüíûì ïîëåì èìååò êàíîíè÷åñêèé áàçèñ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äàííîãî îïåðàòîðà ïîëíîñòüþ ðàñêëàäûâàåòñÿ
â ýòîì ïîëå íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè è íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìàòðèâàÿ â íà÷àëå ïóíêòà 4 ïðèìåðû æîðäà-
íîâîé ôîðìû, ìû ïðîâåðèëè, ÷òî â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ êàíîíè÷åñêîãî
áàçèñà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Aâ ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä àëãåáðàè÷å-
ñêèì çàìûêàíèåì èñõîäíîãî ïîëÿ ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí â àëãåáðàè÷å-
ñêîì çàìûêàíèè íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé (òàêèå ìíîãî÷ëåíû íàçûâàþò
ñåïàðàáåëüíûìè). Ïîñêîëüêó ýòè êîðíè ñòîÿò íà äèàãîíàëè êàíîíè÷å-
ñêîé ìàòðèöû, îíè äîëæíû ïðèíàäëåæàòü èñõîäíîìó ïîëþ.
19

Ïóñòü òåïåðü ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä
A (
t) = ( t 
1)
: : : (t 
s)
;
ãäå âñå êîðíè ðàçëè÷íû è ïðèíàäëåæàò èñõîäíîìó ïîëþ. Òîãäà â èñ-
õîäíîì ïîëå ñóùåñòâóåò æîðäàíîâà ôîðìà, ïðè÷åì ñòåïåíè êàæäîãî èç
ìíîæèòåëåé äàþò íàèáîëüøèé ðàçìåð êëåòêè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîá-
ñòâåííîãî ÷èñëà, òî åñòü, âñå êëåòêè îäíîìåðíû.
5.1.3 Ñëåäñòâèå (êðèòåðèé æîðäàíîâîé ôîðìû ñ åäèíñòâåííîé êëåòêîé
äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà) .Ëèíåéíûé îïåðàòîð â êîíå÷íîìåðíîì
ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì Kèìååò æîðäàíîâó
ôîðìó, ñîäåðæàùóþ ðîâíî îäíó êëåòêó äëÿ êàæäîãî èç ñîáñòâåííûõ
÷èñëå, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äàí-
íîãî îïåðàòîðà ïîëíîñòüþ ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè è
ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíûì.
Äîêàçàòåëüñòâî.  íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ
 A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
;  A(
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
;
ïðè÷åì  m
iíàèáîëüøèé ðàçìåð êëåòêè ñ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì

i è
1  m
i
k
i. Ïîýòîìó â ñëó÷àå
m
i=
k
i äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà
êëåòêà òîëüêî îäíà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè êëåòêà îäíà, òî ïî òåîðåìå
î ðàçëîæåíèè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà â ñóììó êîðíåâûõ
ki = dim
V(
i) =
m
i:
5.1.4 Çàìå÷àíèå. Ñèñòåìàòèçèðóåì ðåçóëüòàòû.
Èòàê, ïóñòü
Spec A=f
1; : : : ; 
sg
; 
A(
t) = ( 1) n
(t 
1)k
1
: : : (t 
s) k
s
; B
i =
A 
iid
:
Òîãäà L= V(
1)
     V(
s)
;
ãäå V(
i) =
fx 2 L:9 l 2 N :B l
 i(
x ) = g  êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà.
Îíè òàêæå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî ôîðìóëàì V(
i) = Ker
Bk
i
 i. Êðî-
ìå òîãî, îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî A, îïåðàòîðû B
i íèëüïîòåíòíû
íà V(
i)
è îáðàòèìû íà V
i =
V(
1)
     V(
i 1)
 V(
i+1 )
     V(
s)
:
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí Aèìååò âèä
 A (
t) = ( t 
1)m
1
: : : (t 
s) m
s
; 1  m
i
k
i:
20

Äëÿ îïåðàòîðîâ
~
A i  ñóæåíèé íàøåãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà êîð-
íåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà âåðíî
~
A 
i(
t) = ( 1) k
i
( t 
i) k
i
;  ~
A 
i(
t) = ( t 
i) m
i
;
ïðè÷åì k
i = dim
V(
i)
, à m
i èíäåêñ íèëüïîòåíòíîñòè ~
B i = ~
A i

iid.
Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî KerBm
i
1
 i 6
= Ker Bm
i
 i =
V(
i)
: Òàêèì
îáðàçîì, ÷èñëî m
i, ôèãóðèðóþùåå â ìèíèìàëüíîì ìíîãî÷ëåíå, ìîæíî
îïðåäåëèòü êàê íàèìåíüøóþ ñòåïåíü l, äëÿ êîòîðîé KerBl
+1
 i = Ker
Bl
 i;
à êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî êàê ñîîòâåòñòâóþùåå ÿäðî.
Íà äèàãîíàëè æîðäàíîâîé ôîðìû ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà 
i ñ ó÷å-
òîì êðàòíîñòè (èõ s, êàæäîå ïîâòîðÿåòñÿ ðîâíî k
i ðàç), êîëè÷åñòâî êëå-
òîê äëÿ 
i ðàâíî
p
i = dim
L(
i)
(ýòî êîëè÷åñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿ äàííîãî ÷èñëà), à íàèáîëüøèé ðàçìåð êëåòêè
ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ ìíîæèòåëÿ t 
i â ìèíèìàëüíîì ìíîãî÷ëåíå
A,
òî åñòü, ñ m
i= dim
V(
i)
 ðàçìåðíîñòüþ êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.
Êîëè÷åñòâî êëåòîê ðàçìåðà käëÿ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà 
i âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå N(k; 
i) =
r
k 1
2r
k +
r
k+1 ;
ãäå r
0 =
n; r
k= rang
Bk
 i ïðè
k 1,
è íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà. Æîðäàíîâà ôîðìà ñîâïàäàåò ñ êàíîíè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âñå m
i= 1
, à èìååò ðîâíî ïî îäíîé êëåòêå íà êàæäîå ñîáñòâåí-
íîå ÷èñëî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí
ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíûì.
6 Ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà
Îäíèì èç ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ æîðäàíîâîé ôîðìû ëèíåéíîãî îïåðàòî-
ðà ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ è ñòåïåííûõ ðÿäîâ îò êâàäðàòíûõ
ìàòðèö. ×àùå âñåãî (íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé) èñïîëüçóåòñÿ ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà, êîòîðàÿ
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ðÿäà Ìàêëîðåíà äëÿ ex
ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî
ïåðåìåííîé ìàòðèöû A2Kn
 n
, òî åñòü,
e A
= E+X
i  1 A
i i
! :
Ñîñòàâèì ëèíåéíûé îïåðàòîð A 2End( Kn
 1
), äåéñòâóþùèé ïî ôîð-
ìóëå A(X ) = AX. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ýòîãî îïåðàòîðà áóäåì íàçûâàòü
ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû, ñîáñòâåííûå âåêòîðû  åå ñîáñòâåííû-
ìè ñòîëáöàìè.
21

Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû çàäàäèì êàê
A(
t) = det( A tE ) = 
A(
t) ;
è ïóñòü îí ïîëíîñòüþ ðàñêëàäûâàåòñÿ â Kíà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Òî-
ãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ Æîðäàíà X
1; : : : ; X
nòàêîé, ÷òî ìàòðèöà
Aâ ýòîì
áàçèñå  æîðäàíîâà ôîðìà
J= 0
B
B
B
B
@ J
n1;
1 O
: : : O O
O J
n2;
2 : : :
O O
O O : : :O O
: : : : : : : : : : : : : : :
O O : : :OJ
nl;
l1
C
C
C
C
A :
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàòðèöà ýòîãî îïåðàòîðà â ñòàíäàðòíîì áàçèñå åñòü A,
à ìàòðèöà ïåðåõîäà Cîò ñòàíäàðòíîãî ê æîðäàíîâó ñîñòîèò èç ñòîëáöîâ
X 1; : : : ; X
n, èìååì
A= C J C
1
, ãäå C= ( X
1: : : X
n)
.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Ai
= C J C
1
C J C
1
: : : C J C
1
= C J i
C
1
;
òî åñòü, äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ñòåïåíè æîðäàíîâîé ôîðìû.
Áîëåå òîãî, äëÿ ñòåïåíîãî ðÿäà f(X ) = P
i 1 a
iX
iâåðíà ôîðìóëà
f (A ) = C f(J )C
1
:
Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðè âîçâåäåíèè â
ñòåïåíü áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû ïðîñòî âîçâîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâó-
þùóþ ñòóïåíü åå áëîêè, à çíà÷èò,
Ji
= 0
B
B
B
B
@ J
i
n 1;
1 O
: : : O O
O Ji
n 2;
2 : : :
O O
O O : : :O O
: : : : : : : : : : : : : : : O O : : :OJi
n s;
s1
C
C
C
C
A :
Èòàê, çàäà÷à âîçâåäåíèÿ ìàòðèöû â ñòåïåíü ñâåëàñü ê âû÷èñëåíèþ
ñòåïåíåé êëåòêè âèäà
Jm; =0
B
B
B
B
@ 
0: : : 0 0
1  : : : 0 0
0 1 : : :0 0
: : : : : : : : : : : : : : :
0 0 : : :11
C
C
C
C
A :
22

Ïî ñâîéñòâàì ðÿäà, çàäàþùåãî ýêñïîíåíòó,
eJ
m; 0+
E
=eJ
m; 0
e E
:
Ìû óæå ïðîâåðÿëè, ÷òî Ji
m; 0ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé, â êîòîðîé âñå ýëå-
ìåíòû íóëåâûå, çà èñêëþ÷åíèåì äèàãîíàëè èç åäèíèö, ðàñïîëîæåííîé
íà iïîçèöèé íèæå ãëàâíîé (â ÷àñòíîñòè, Ji
m; 0=
O ïðè i m). Íåïîñðåä-
ñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî eE
=e
E .
Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó
eJ
m;
=0
B
B
B
B
B
B
B
@ e

0: : : 0 0 0
e  1!
e
: : : 0 0 0
e  2!
e
 1!
: : :
0 0 0
: : : : : : : : : : : : : : : e  (
m 2)! e
 (
m 3)! : : : e
 1!
e
0
e  (
m 1)! e
 (
m 2)! : : : e
 2!
e
 1!
e 1
C
C
C
C
C
C
C
A :
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà eJ
ÿâëÿåòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé
ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ðàñïîëàãàþòñÿ êëåòêè, çàïèñàííûå âû-
øå. Îñòàëîñü âñïîìíèòü, ÷òî eA
= C e J
C
1
; ãäå Cñîñòîèò èç ñòîëáöîâ
áàçècà Æîðäàíà. Ïðèìåð. Äëÿ ìàòðèöû
A= 0
B
B
@
3 4 3 15
1 1 0 5
0 0 3 3
0 0 2 2 1
C
C
A
íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé è ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåíû, êîðíåâûå ïîä-
ïðîñòðàíñòâà, æîðäàíîâó ôîðìó, æîðäàíîâ áàçèñ è çíà÷åíèå ýêñïîíåíòû.
Ðåøåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ðàâåí
 A(
t) = det 0
B
B
@
3 t 4 3 15
1 1 t 0 5
0 0 3 t 3
0 0 2 2 t1
C
C
A =
t( t + 1) 3
:
 íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ s= 2 ; 
1= 0
; k
1= 1
; 
2=
1; k
2= 3
:Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî íà ãëàâíîé äèàãîíàëè æîðäàíîâîé ôîðìû áóäåò ñòîÿòü
îäíî ÷èñëî 0è òðè ÷èñëà 1, êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ äâà, ïðè÷åì
dim V(0) = 1 ;dim V( 1) = 3 .
Ïîñêîëüêó 1 l
i 
m
i
k
i, èìååì
m
1=
l
1 = 1
, òî åñòü, äëÿ ñîáñòâåí-
íîãî ÷èñëà 0áóäåì èìåòü ëèøü îäíó êëåòêó. Îíà îäíîìåðíà, â áàçè-
ñå Æîðäàíà åé áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñîáñòâåííûé âåêòîð, ÿâëÿþùèéñÿ
áàçèñîì V(0) = L(0) .
23

Íàéäåì åãî êàê ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
B
0 ñ ìàòðèöåé
A 0E =A:
0
B
B
@
3 4 3 15
1 1 0 5
0 0 3 3
0 0 2 2 1
C
C
A 0
B
B
@ 1 0 0
8
0 1 0 3
0 0 1 1
0 0 0 0 1
C
C
A :
 êà÷åñòâå áàçèñà ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé óäîáíî âçÿòü ôóíäàìåíòàëü-
íóþ ñèñòåìó ðåøåíèé.
 äàííîì ñëó÷àå ýòî X
1= 0
B
B
@ 8
3
1
1 1
C
C
A ; V
(0) = L(0) = < X
1> :
Íàéäåì òåïåðü ïîäïðîñòðàíñòâî L( 1)  ÿäðî îïåðàòîðà B
1 ñ ìàò-
ðèöåé A+ E =B
1 :
0
B
B
@
2 4 3 15
1 2 0 5
0 0 2 3
0 0 2 3 1
C
C
A 0
B
B
@ 1
2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 1
C
C
A :
Ñíîâà âûáåðåì ê êà÷åñòâå áàçèñà ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøå-
íèé:
Y1 = 0
B
B
@ 2
1
0
0 1
C
C
A ; L
( 1) = < Y
1>
 V( 1) :
Äëÿ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà 1 ïîëó÷èëè dimL( 1) = p= 1 , òî åñòü,
êëåòêà áóäåò îäíà. Ïîñêîëüêó dimV( 1) = 3 , êëåòêà òðåõìåðíà. Êðîìå
òîãî, m
2=
l
2 = 3
, à ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä
A (
t) = t( t + 1) 3
= 
A(
t) :
Çàìåòèì, ÷òî æîðäàíîâó ôîðìó ìû ìîæåì çàïèñàòü, äàæå íå çíàÿ
áàçèñà:
J= 0
B
B
@ 0 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 11
C
C
A :
Êðîìå òîãî, ìû áåç âû÷èñëåíèé óçíàëè èíäåêñ íèëüïîòåíòíîñòè ëè-
íåéíîãî îïåðàòîðà B
1 íà
V( 1) , òàê êàê îí ñîâïàäàåò ñ m
2 = 3
. Îí
ìîæåò áûòü íàéäåí è íåïîñðåäñòâåííî êàê ñòåïåíü, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîé
ÿäðî Bl
1 ñòàáèëèçèðóåòñÿ:
24

B
1 = 0
B
B
@
2 4 3 15
1 2 0 5
0 0 2 3
0 0 2 3 1
C
C
A ; B 2
1 = 0
B
B
@ 0 0 18 26
0 0 7 10
0 0 2 3
0 0 2 3 1
C
C
A ;
B 3
1 = 0
B
B
@ 0 0 16 24
0 0 6 9
0 0 2 3
0 0 2 3 1
C
C
A ; B 4
1 =
B3
1; V
( 1) = Ker B3
1:
Ïðè íåîáõîäèìîñòè êîëè÷åñòâî êëåòîê êàæäîãî ðàçìåðà âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå N(k; 1) = r
k 1
2r
k +
r
k+1 ;
ãäå
r 0 =
n= 4 ; r
1= rang
B
1 = 3
; r
2= rang
B2
1 = 2
; r
3= rang
B3
1 = 1
:
Íàì íóæåí áàçèñ âèäà X; B
1X; B 2
1X
(òî åñòü, öèêëè÷åñêèé) êîðíå-
âîãî ïðîñòðàíñòâà V( 1) = Ker B3
1. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè òàêîé
ñòîëáåö X, ÷òî
B3
1X
=O; B 2
1 X
6
= O:
Ïîñêîëüêó dim KerB3
1 >
dim Ker B2
1, îáÿçàòåëüíî ïîäîéäåò õîòÿ áû
îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîä-
íûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé B3
1.  äàííîì ñëó÷àå ýòî
X 2=
X =0
B
B
@ 0
0
3
21
C
C
A ; X
3=
B
1X
=0
B
B
@
21
10
0
0 1
C
C
A ; X
4=
B2
1X
=0
B
B
@ 2
1
0
0 1
C
C
A :
Èòàê, áàçèñ Æîðäàíà íàéäåí:
X1= 0
B
B
@ 8
3
1
1 1
C
C
A ; X
2= 0
B
B
@ 0
0
3
21
C
C
A ; X
3= 0
B
B
@
21
10
0
0 1
C
C
A ; X
4= 0
B
B
@ 2
1
0
0 1
C
C
A :
Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê æîðäàíîâó èìååò âèä
C=0
B
B
@ 8 0
21 2
3 0 10 1
1 3 0 0
1 2 0 0 1
C
C
A ;
25

îáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà îáðàòíîãî ïåðåõîäà ðàâíà
C
1
= 0
B
B
@ 0 0 2 3
0 0 1 1
1 2 4 6
10 21 34 51 1
C
C
A ; e J
= 0
B
B
@ 1 0 0 0
0 e
1
0 0
0 e
1
e
1
0
0 e
1
= 2 e
1
e
11
C
C
A :
Òàêèì îáðàçîì,
eA
= C e J
C
1
= 0
B
B
@
e
1
4e
1
1628e
1
2432e
1
e
1
3e
1
6 11;5 e
1
9 12;5 e
1
0 0 2 + 3 e
1
3 + 3 e
1
0 0 2 2e
1
3 2e
1 1
C
C
A :
26

Сообщить о нарушении / Abuse

Все документы на сайте взяты из открытых источников, которые размещаются пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваш документ был опубликован без Вашего на то согласия.